Definición del producto de copa (cuña) de las clases de cohomología de De Rham

Es estándar definir el producto de taza$[\omega_1] \wedge [\omega_2]$ser$[\omega_1 \wedge \omega_2]$. La "inclusión" que se está demostrando en estos textos no es una inclusión en absoluto, sino una comprobación de que la operación está bien definida. La principal fuente de confusión, al parecer, es que$[\omega_1] \wedge [\omega_2]$no es {$(\omega_1 + d\eta_1) \wedge (\omega_2 + d\eta_2)$}, como usted afirma. En cambio,$\wedge$se está definiendo y estamos reutilizando el nombre.

Como breve recordatorio, digamos que tenemos alguna función$f : A \to B$y alguna relación de equivalencia$\sim$en$A$. podemos ver$f$como una función de$(A/\sim) \to B$si y solo si$f$hace lo mismo con todas las clases de equivalencia. Eso es si y solo si$a_1 \sim a_2$implica$f(a_1) = f(a_2)$. Hacemos esto porque necesitamos saber que$f([a])$(que definimos como$f(a)$) no depende de la elección del representante de$[a]$. la sobrecarga de$f$significar tanto la función$A \to B$ y la funcion$(A/\sim) \to B$ha sido fuente de confusión en las matemáticas desde que se hizo común por primera vez. Para aclarar las cosas, escribamos$\tilde{f} : (A/\sim) \to B$definido por$\tilde{f}([a]) = f(a)$.

Ahora: tenemos una función$\wedge$definido en formas diferenciales. Nos gustaría definir una nueva función.$\tilde{\wedge}$definido en clases de cohomología (que, recordemos, son clases de equivalencia). Para ello tenemos que demostrar que$[\alpha] \tilde{\wedge} [\beta]$(definido como$[\alpha \wedge \beta]$) está bien definido. Por supuesto,$\tilde{\wedge}$está bien definido si y solo si obtenemos el mismo resultado independientemente del representante que usemos.

Ahora, cada representante de$[\alpha]$parece$\alpha + d\omega$, y cada representante de$[\beta]$parece$\beta + d\eta$. Por lo tanto, verificar una buena definición significa verificar que$[\alpha] \tilde{\wedge} [\beta] = [\alpha + d\omega] \tilde{\wedge} [\beta + d\eta]$. Pero por definición, esto equivale a comprobar que$[\alpha \wedge \beta] = [(\alpha + d\omega) \wedge (\beta + d\eta)]$.

Como mostraste,$(\alpha + d\omega) \wedge (\beta + d\eta) = (\alpha \wedge \beta) + d\nu$, pero esto está en la misma clase de equivalencia que$\alpha \wedge \beta$. Entonces$[\alpha \wedge \beta] = [(\alpha + d\omega) \wedge (\beta + d\eta)]$y la función está bien definida.

Desafortunadamente, los matemáticos que trabajan rara vez distinguen entre$\wedge$y$\tilde{\wedge}$y escribimos$\wedge$para ambos. Esto es útil, porque realmente son la misma operación, y sería molesto tener que escribir un montón de garabatos adicionales todo el tiempo, pero también es confuso para los estudiantes que recién ingresan al campo.

Espero que esto ayude ^_^