Rotación en Dimensiones Superiores

En un mundo de tres dimensiones espaciales más el tiempo, cada átomo gira alrededor de una línea, el eje de rotación.

en un mundo de norte dimensiones espaciales donde norte es mayor que 3, ¿debe rotar todo átomo, y si es así, rota alrededor de una línea, un plano o un subespacio de menor número de dimensiones?

Para una parametrización explícita de norte -rotaciones dimensionales, consulte: math.stackexchange.com/q/1364495

Respuestas (2)

  1. Se puede demostrar que una rotación general R ∈ S O ( norte ) en norte ≥ 2 las dimensiones espaciales se pueden componer

    R   =   R 1 ∘ … ∘ R k
    de a lo sumo k = [ norte 2 ] rotaciones de desplazamiento por pares
    R 1 , … , R k   ∈   S O ( norte )
    que cada uno deja invariante un subespacio de codimensión 2 (aunque no necesariamente el mismo subespacio).

  2. Más explícitamente, dada una rotación R ∈ S O ( norte ) existe una base ortonormal ( mi 1 , … , mi norte ) [que puede depender de R ] tal que la rotación R está representada por una matriz de bloques diagonales de la forma

    ( porque ⁡ θ 1 pecado ⁡ θ 1 − pecado ⁡ θ 1 porque ⁡ θ 1 porque ⁡ θ 2 pecado ⁡ θ 2 − pecado ⁡ θ 2 porque ⁡ θ 2 ⋱ porque ⁡ θ k pecado ⁡ θ k − pecado ⁡ θ k porque ⁡ θ k 1 1 ⋱ 1 ) .

  3. la rotación R solo se garantiza que dejará invariable un subespacio de dimensión 1 (= una línea que pasa por el origen) si la dimensión del espacio norte es impar.

En 2d, una matriz de rotación tiene la forma

r ( θ ) = ( porque ⁡ θ − pecado ⁡ θ pecado ⁡ θ porque ⁡ θ ) := ( C ( θ ) − s ( θ ) s ( θ ) C ( θ ) )
y rota el vector en un plano .

En 3d, una matriz de rotación se puede escribir como un producto

r 12 ( ψ ) r 13 ( θ ) r 12 ( φ )
dónde
r 12 ( ψ ) = ( C ( ψ ) − s ( ψ ) 0 s ( ψ ) C ( ψ ) 0 0 0 1 ) r 13 ( θ ) = ( C ( ψ ) 0 − s ( ψ ) 0 1 0 s ( ψ ) 0 C ( ψ ) )
dejando un eje invariante. Este eje se puede identificar por la fila o columna que contiene 0 s en todas partes excepto en una entrada.

En SO(4), uno puede escribir una matriz de rotación como una secuencia o r i j matrices. r 12 tendría la forma

r 12 ( ψ ) = ( C ( ψ ) − s ( ψ ) 0 0 s ( ψ ) C ( ψ ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )
y así deja un subespacio bidimensional invariante. Una matriz SO(4) se puede escribir en la forma factorizada
r 34 ( β 1 ) r 23 ( β 2 ) r 12 ( β 3 ) r 34 ( β 4 ) r 23 ( β 5 ) r 34 ( β 6 )
restringiendo a valores reales las entradas de los S tu ( 4 ) matriz factorizada como se hace aquí . Esta no es de ninguna manera la única factorización posible.

Obviamente, una rotación SO(5) se puede escribir en términos de matrices dejando un subespacio tridimensional invariante, etc.

¿Qué pasa con las rotaciones dobles en 4D? Las rotaciones simultáneas en 2 planos ortogonales interceptando en un punto en el origen (reemplazando unidades en tu matriz con senos y cosenos).
@safesphere No estoy seguro de entender su pregunta. Todavía es una rotación 4d, pero claramente se puede realizar como una secuencia de dos rotaciones conmutadas SO(2): r 12 r 34 . Llevar r 23 ( 0 ) = 1 etc.
Para aclarar lo que quiero decir, consulte este math.stackexchange.com/q/2543122 y también vea Double Rottions en Geometry aquí en.wikipedia.org/wiki/…
@safesphere Realmente necesito más café... Todavía no entiendo lo que pides, pero leeré el enlace con interés más adelante.
No hay problema :) Para aclarar nuevamente, en 3D, un objeto puede girar solo alrededor de un eje. Si intentamos rotar un objeto alrededor de dos ejes al mismo tiempo, esto solo gira el eje de rotación, pero sigue siendo uno solo y la rotación todavía tiene una velocidad única. En 4D, sin embargo, un objeto puede girar en un plano (rotación simple) y también en otro plano ortogonal al mismo tiempo (rotación doble) de forma independiente y con una velocidad diferente.
@safesphere déjame (eventualmente) leer el material que vinculaste.
@safesphere En principio, el 'objeto rígido' se puede rotar cualquier número de veces, y el producto de las matrices de rotación asociadas es siempre una matriz de rotación (que no distorsiona las distancias y las formas del 'objeto rígido'). Esa matriz de rotación no describe cuántos pasos y qué ejes se usan, solo relaciona el estado final con el inicial.
@Whit3rd Cierto, pero esta vista está limitada al ver la rotación como un resultado único de algunos pasos no descritos. Esta pregunta era sobre la rotación no como resultado de una sola vez, sino como un proceso continuo y también sobre el significado geométrico de este proceso. Como tal, la rotación en 2D es siempre en el mismo plano, en 3D es en cualquier plano único, pero en 4D puede ser en uno o puede ser en dos planos al mismo tiempo que son ortogonales entre sí y se cruzan en el centro de rotación.
@ZeroTheHero Entonces... ¿es "eventualmente" antes o después de fin de año? :) Su respuesta establece que en dimensiones más altas, una rotación deja un k − 2 subespacial invariante. Esto es cierto solo para una sola rotación en un plano. Sin embargo, en dimensiones más altas obtienes múltiples rotaciones en diferentes planos ortogonales al mismo tiempo. Por lo tanto, como dijo Qmechanic, en dimensiones impares, en general, solo obtiene un eje 1D invariante, mientras que en dimensiones pares, en general, obtiene solo un punto cero D invariante. Entonces, las dimensiones más altas se traducen en rotaciones más complejas, mientras que la invariancia sigue siendo un punto o una línea.
@safesphere Mon! Me olvidé de esto...
@ZeroTheHero Rotation siempre está en un plano 2D. Entonces, en 1D, sin rotación, pero tiene un eje invariable: en 2D, una rotación, sin eje; en 3D: una rotación más un eje; en 4D - dos rotaciones (2Dx2=4D), sin eje; en 5D - dos rotaciones más un eje, y así sucesivamente. La matriz tiene pares diagonales de senos y cosenos, excepto la unidad en dimensiones impares en la esquina inferior derecha como en su ejemplo 3D (eje). Sin embargo, en su ejemplo 4D en general, no debería haber unidades, solo senos y cosenos (no existen).
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