Invariancia de Poincaré de las condiciones de contorno de Dirichlet y Neumann

La acción que describe una cadena que se propaga en un$D$espacio-tiempo dimensional, con métrica dada$g_{\mu\nu}$, viene dada por la acción de Polyakov

$$S_{\text{p}}=-\frac{T}{2}\int \mathrm{d}\sigma\mathrm{d}\tau\sqrt{-h}\eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^{\mu}\partial_{\beta}X^{\nu}g_{\mu\nu}\tag{1}$$ donde los símbolos tienen su significado habitual. No es difícil comprobar que la acción es invariante bajo las transformaciones de Poincaré $$\delta X^{\mu}(\sigma,\tau)=a^{\mu}_{~~~\nu}X^{\nu}(\sigma,\tau)+b^{\mu}\tag{2}.$$ Cuando todo el polvo se haya asentado (es decir, después de la fijación del calibre y las transformaciones de Weyl), la acción de Polyakov se convierte en $$S_{\text{P}}=\frac{T}{2}\int \mathrm{d}\sigma\mathrm{d}\tau \left((\dot{X})^{2}-(X')^{2}\right)\tag{3}$$ dónde $\dot{X}=\partial_{\tau}X^{\mu}$y $X'=\partial_{\sigma}X^{\mu}$. Variación con respecto a $X^{\mu}$da la ecuación de movimiento $$(-\partial^{2}_{\tau}+\partial^{2}_{\sigma})X^{\mu}-T\int\mathrm{d}\tau\left[X'\delta X^{\mu}|_{\sigma=\pi}+X'\delta X^{\mu}|_{\sigma=0}\right]=0.\tag{4}$$ El $\sigma$Los términos de frontera nos dicen qué tipo de cadenas tenemos, ya sean cadenas cerradas o abiertas.

• Para cuerdas abiertas, la ecuación (4) se convierte en$(-\partial^{2}_{\tau}+\partial^{2}_{\sigma})X^{\mu}=0$donde asumimos que los puntos extremos de la cuerda siguen las condiciones de contorno de Neumann

  $$\partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,\sigma)=\partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,\sigma+n).\tag{5}$$ Una característica interesante es que las condiciones de contorno de Neumann permanecen invariantes bajo la transformación global de Poincaré desde $$\begin{eqnarray} \partial_{\sigma}X'^{\mu}|_{\sigma=0,n} & = & \partial_{\sigma}\left(a^{\mu}_{~~~\nu}X^{\nu}(\sigma,\tau)+b^{\mu}\right)|_{\sigma=0,n} \\ & = & a^{\mu}_{~~~\nu}~\partial_{\sigma}X^{\nu}|_{\sigma=0,n}\\ & = & 0 \\ \end{eqnarray}$$

• Mientras que las condiciones de contorno de Dirichlet

  $$X^{\mu}(\tau,\sigma=0)=X^{\mu}_{0}\qquad\qquad X^{\mu}(\tau,\sigma=n)=X^{\mu}_{n}$$ romper la invariancia de Poincaré, como $$X'^{\mu}|_{\sigma=0,n}=\left(a^{\mu}_{~~~\nu}X^{\nu}(\sigma,\tau)+b^{\mu}\right)|_{\sigma=0,n}\neq X^{\mu}_{0,n}$$ lo que simplemente significa que, bajo una transformación de Poincaré, los extremos de la cuerda realmente cambian.

¿El espectro de excitaciones de cuerdas mantiene alguna firma de esta (no) invariancia bajo las transformaciones de Poincaré? Si es así, ¿cómo se puede interpretar ese resultado?