Condiciones de contorno de cadena

A partir de la condición de frontera

$$\partial^{\sigma}X^{\mu}(\tau,0)=0$$ y bajando el índice de la derivada usando la métrica da $$\gamma^{\sigma\tau}\partial_{\tau}X^{\mu}(\tau,0)+\gamma^{\sigma\sigma}\partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,0) =0.$$ Aparentemente, Polchinski quiere expresar esto en términos de la métrica $\gamma_{ab}$con sus índices rebajados, en lugar de en términos de $\gamma^{ab}$(el inverso de $\gamma_{ab}$). podemos expresar $\gamma^{ab}$en términos de $\gamma_{ab}$usando la fórmula para el inverso de a $2\times 2$matriz, donde volteas las esquinas diagonales y pones signos menos en las esquinas fuera de la diagonal y luego divides por el determinante. Convenientemente, el determinante es $-1$así que dividir por él no es mucho trabajo. La fórmula da $$\gamma^{\sigma\sigma} = -\gamma_{\tau\tau} \\ \gamma^{\sigma\tau} = \gamma_{\tau\sigma}$$ Y entonces $$\gamma_{\tau\sigma}\partial_{\tau}X^{\mu}(\tau,0) -\gamma_{\tau\tau}\partial_{\sigma}X^{\mu}(\tau,0)=0.$$ Del mismo modo en $\sigma=l$.