¿Problemas con la ecuación de movimiento de un péndulo amortiguado?

Question

¿Problemas con la ecuación de movimiento de un péndulo amortiguado?

arrastrar
Física
condiciones de borde
oscilador armónico

pipí

Publiqué una pregunta recientemente sobre el movimiento de un péndulo amortiguado, sin embargo, pensé que esta pregunta era distinta del problema que planteé en mi publicación anterior, así que pensé que era mejor hacer otra publicación (solo quería aclarar en caso de que alguien pensara que estaba haciendo varias publicaciones sobre preguntas demasiado similares).

Estoy tratando con un péndulo amortiguado (donde la fuerza resistiva es proporcional en magnitud a la velocidad) y llego a la ecuación general para el movimiento armónico amortiguado:

$\ddot \theta +\frac{b}{m}\dot \theta + \frac{g}{l} \theta =0$

Y me piden que verifique que $\theta = Ae^{-\alpha t}$ es una solución y para encontrar $A$ y $\alpha$ .

El péndulo se suelta desde el reposo en su máxima amplitud de $\theta _0$ en el tiempo cero y está en melaza, pensé que las condiciones de contorno serían:

Empieza en $\theta = \theta_0$
Velocidad (y $\dot \theta$ ) comienza en 0.

Al sustituir la solución propuesta en la ecuación general para el movimiento armónico amortiguado anterior, obtuve que

$\alpha = \frac{b}{2m} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4m^2} - \frac{g}{l}}$

tan claramente $\alpha \neq 0$

Y de la primera condición obtengo que $A=\theta_0$

Sin embargo tengo dos problemas:

No puedo reconciliar estos valores con la segunda condición de frontera que $\dot \theta =0$
¿Por qué hay dos soluciones para alfa? ¿Cuál es el significado físico de estos? Supongo que uno corresponde al aumento inicial de la velocidad cuando la fuerza de arrastre es pequeña, y luego el otro corresponde al tiempo de disminución lenta. Sin embargo, no puedo ver cómo cualquiera de estos puede ser cierto si mi ecuación implica que la velocidad inicial/velocidad angular de mi partícula no es cero.

usuario93237

Creo que tu ecuación para el movimiento del péndulo es incorrecta. El término g/l se debe multiplicar por

θ

$\theta$ .

Azul azul

Pensando en el significado físico de

θ

$\theta$ , cómo

θ

$\theta$ cambio por positivo y negativo

α

$\alpha$ ? Un exponencial decreciente o un exponencial positivo pintan dos imágenes físicas diferentes. Piensa en esto y deberías poder concluir por qué dos soluciones de

α

$\alpha$ existe, y si debe o no descartar uno por ser una solución no física

usuario1583209

α

$\alpha$ nunca va a ser negativo. Será un número real positivo o un número complejo.

pipí

@bleuofblue Si

\frac{b^{2}}{4 m^{2}} > \frac{g}{l}

$\frac{b^2}{4m^2} >\frac{g}{l}$ entonces

α

$\alpha$ tendrá dos soluciones positivas. en el limite que

b - > \infty

$b->\infty$ , las dos soluciones serán

α = 0

$\alpha =0$ y

α = \frac{b}{m}

$\alpha=\frac{b}{m}$ . ¡Nunca habrá un aumento exponencial positivo del ángulo theta!

Respuestas (1)

¿Problemas con la ecuación de movimiento de un péndulo amortiguado?

Creo que tu ecuación para el movimiento del péndulo es incorrecta. El término g/l se debe multiplicar por $\theta$ .
Pensando en el significado físico de $\theta$ , cómo $\theta$ cambio por positivo y negativo $\alpha$ ? Un exponencial decreciente o un exponencial positivo pintan dos imágenes físicas diferentes. Piensa en esto y deberías poder concluir por qué dos soluciones de $\alpha$ existe, y si debe o no descartar uno por ser una solución no física
$\alpha$ nunca va a ser negativo. Será un número real positivo o un número complejo.
@bleuofblue Si $\frac{b^2}{4m^2} >\frac{g}{l}$ entonces $\alpha$ tendrá dos soluciones positivas. en el limite que $b->\infty$ , las dos soluciones serán $\alpha =0$ y $\alpha=\frac{b}{m}$ . ¡Nunca habrá un aumento exponencial positivo del ángulo theta!

usuario1583209 · Answer 1

tu calculo de $\alpha$ es correcto. tienes dos $\alpha$ , como debería hacerlo para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden. La solución general de la ecuación es entonces una combinación lineal:

θ = C_{1} {mi}^{- α_{1} t} + C_{2} {mi}^{- α_{2} t}

$\theta = c_1 e^{-\alpha_1 t} + c_2 e^{-\alpha_2 t}$

Así que de la primera condición de contorno se obtiene:

C_{1} + C_{2} = θ_{0}

$c_1+c_2 = \theta_0$

Y la segunda condición de contorno da:

C_{1} α_{1} + C_{2} α_{2} = 0

$c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 = 0$

Resolviendo para $c_{1,2}$ usted obtiene:

C_{1} = \frac{α_{2} θ_{0}}{α_{2} - α_{1}}

$c_1 = \frac{\alpha_2\theta_0}{\alpha_2 - \alpha_1}$

C_{2} = \frac{α_{1} θ_{0}}{α_{1} - α_{2}}

$c_2 = \frac{\alpha_1\theta_0}{\alpha_1 - \alpha_2}$

Con respecto a tus preguntas. Esto debería resolver su primer problema con la segunda condición de contorno.

¿Por qué hay dos soluciones para alfa?

Porque es una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Resolviendo ecuaciones diferenciales

Técnicamente no asumiste una única solución. Lo que hiciste fue un Ansatz, es decir, probaste si $A e^{-\alpha t}$ es una solución Encontraste que es una solución para dos opciones diferentes de $\alpha$ . Eso significa que encontraste dos soluciones ( $\theta_{1,2}$ a la ecuación diferencial). Debido a que es una EDO homogénea lineal, cualquier combinación lineal de estas soluciones también es una solución. Tenga en cuenta que esto incluye $\theta_1$ o $\theta_2$ solo las soluciones como uno de los coeficientes en la combinación lineal podrían ser cero. Ahora solo necesita probar (o preguntarle a un matemático) que estas son todas las soluciones de la ecuación (que lo son), es decir, cualquier solución a esta EDO puede escribirse como una combinación lineal de $\theta_{1,2}$ .

Interpretación física

La velocidad es (por $\alpha_1\neq\alpha_2$ ):

\dot{θ} = θ_{0} \frac{α_{1} α_{2}}{α_{1} - α_{2}} ({mi}^{- α_{1} t} - {mi}^{- α_{2} t})

$\dot{\theta} = \theta_0 \frac{\alpha_1\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2}\left(e^{-\alpha_1 t} - e^{-\alpha_2 t}\right)$

En el límite sobreamortiguado ( $\frac{b}{2m}\gg\sqrt{\frac{g}{l}}$ ), $\alpha_1\gg\alpha_2$ y a partir de la estructura de la velocidad en la ecuación anterior se ve que para tiempos pequeños ( $t\ll\alpha_1^{-1}$ ), la primera exponencial ( $e^{-\alpha_1 t}$ ) gobierna el movimiento (aceleración), mientras que en el límite opuesto de tiempos grandes ( $t\gg\alpha_2^{-1}$ ), el segundo exponencial gobierna el movimiento (desaceleración).

¡Gracias por su respuesta! Me preguntaba: ¿por qué obtengo dos soluciones si solo asumí una única solución en primer lugar (que sustituí)? Además, ¿por qué la solución es una combinación lineal de las dos soluciones y no una u otra?
Agregué alguna explicación más arriba. ¿Todo claro ahora?

¿Problemas con la ecuación de movimiento de un péndulo amortiguado?

pipí

usuario93237

Azul azul

usuario1583209

pipí

Respuestas (1)

usuario1583209

Resolviendo ecuaciones diferenciales

Interpretación física

pipí

usuario1583209

Necesito encontrar el coeficiente de arrastre de una lenteja de péndulo [cerrado]

¿El coeficiente de arrastre es lo mismo que el coeficiente de amortiguamiento? ¿Puedo encontrar el coeficiente de arrastre utilizando los datos de una esfera oscilante amortiguadora?

¿Por qué mis condiciones de contorno no funcionan en un oscilador armónico amortiguado?

Longitud equivalente de un péndulo simple

Lanzamiento plano vs lanzamiento de 45 grados de una pelota

Movimiento de proyectil de arrastre cuadrático

Valor esperado de la posición del oscilador armónico

Condiciones para la caída libre

¿Por qué la fuerza de amortiguamiento es proporcional a vvv y no a v2v2v^2?

¿Qué factores determinan el coeficiente de fricción?