Idea detrás del bosón compactado

Suprimamos el tiempo (hoja del mundo)$\tau$en lo que sigue, es decir, considerar un tiempo fijo$\tau$. Sea dada una aplicación continua$\phi:\Sigma\to M$, donde el mundo-espacio$\Sigma$y el espacio objetivo$M$son ambas variedades 1D. Asumiremos que tal variedad 1D es una línea real$\mathbb{R}$o un circulo$S^1\cong\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Eso da$2\times 2= 4$posibilidades, que son útiles para comparar, con el fin de transmitir la idea detrás de un bosón compactado. Tenga en cuenta las siguientes observaciones:

1. Casos en los que el espacio de destino$M=\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}$es un circulo Entonces podemos reemplazar el círculo.$M$con la línea real$\mathbb{R}$, si dejamos el mapa$\phi$volverse multivaluado$x\mapsto [\phi_i(x)]_{i\in\mathbb{Z}}$, donde dos ramas difieren

   $$\phi_i(x)-\phi_j(x)~\in~ 2\pi R\mathbb{Z}$$ por un múltiplo de$2\pi R$. (La noción de ramas tiene sentido ya que se supone que el mapa es continuo).

2. Casos donde el mundo-espacio$\Sigma=\mathbb{R}/L\mathbb{Z}$es un circulo Entonces podemos reemplazar el círculo.$\Sigma$con la línea real$\mathbb{R}$, si imponemos que el mapa debe ser$L$-periódico. Esto significa

   $$\phi(x)~=~\phi(x+L) \quad\text{for}\quad M~=~\mathbb{R},\tag{1}$$ y $$[\phi_i(x)]~=~[\phi_j(x+L)] \quad\text{for}\quad M~=~\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}.\tag{2}$$

3. En el resto de esta respuesta, deje el espacio de destino$M=\mathbb{R}/2\pi R\mathbb{Z}$ser compacto, de modo que el mapa tenga varios valores. (i) En el caso sin $L$-periodicidad, solo podemos elegir una rama$x\mapsto \phi_i(x)$, y trabajar en esa "imagen". Las diferentes ramas no se hablan entre sí, por así decirlo. (ii) En el caso de $L$-periodicidad, la condición de periodicidad (2) puede referirse a distintas ramas. Si desempacamos (2), puede convertirse

   $$\phi_i(x)-\phi_i(x+L)~=~2\pi R m,$$ dónde$m\in\mathbb{Z}$se llama número de devanado. Curiosamente, el número de bobinado$m$no depende de qué rama (o "imagen")$i\in\mathbb{Z}$, usamos.

Nótese primero que incluso antes de restringir el dominio de$\phi$, estamos considerando la teoría del cilindro e identificando la condición de frontera$\phi(x + L,t) = \phi(x,t)$.

Ahora, para explicar la restricción, tomemos este ejemplo. Considere una configuración de campo en algún momento fijo$\phi(x,0)$, solo tenemos que estudiar esto en el dominio$[0,L]$. Ahora elige cualquier constante$R$, y como consecuencia de la invariancia, en este tiempo fijo las dos funciones

$$\phi_I(x) \equiv \phi(x,0) \text{ and }\phi_{II}(x) \equiv \phi(x,0) - 2\pi R$$ Son físicamente indistinguibles. Ahora supongamos por el bien de la explicación que $0<\phi_I(x)<2\pi R$por algún intervalo $[0,L_1]$, y $2\pi R<\phi_I(x)<4\pi R$para $[L_1,L]$.

Ahora defina una nueva configuración de campo

$$\phi'(x) =\left\{\begin{array}{cc} \phi_I(x) & x\in[0,L_1] \\ \phi_{II}(x) & x\in [L_1, L] \end{array}\right.$$

Entonces físicamente esta función es equivalente debido a la invariancia de cambio, sin embargo ahora$\phi'$se restringe para satisfacer siempre$0<\phi'<2\pi R$.

Una vez que comprenda este procedimiento, debería quedar claro que la condición de contorno$\phi(x+L,t) = \phi(x,t)$"antes" de restringir el dominio, es equivalente a$\phi(x+L,t)=\phi(x,t) + 2n\pi R$"después" de restringir el dominio, donde ahora$\phi'(x+L,t)=\phi'(x,t)$. Pero como puede ver, aunque esto es localmente equivalente a la condición de contorno anterior, es más general, porque no tenemos que exigir que la configuración del campo restringido previamente sea idénticamente igual en el contorno, y$n$puede entenderse como el número de bobinado porque después de que dimos la vuelta al cilindro una vez, la configuración del campo pre-restringido cambió, por lo que aunque (localmente) la restricción previa y posterior son las mismas, debemos tener en cuenta que en el límite está sucediendo algo ( globalmente)