¿Tienen sentido las condiciones de Neveu-Schwarz?

Al colocar fermiones en la cuerda, debemos elegir las condiciones de contorno para nuestros campos de espinores: Ramond o Neveu-Schwarz. Las condiciones NS en la cadena cerrada tienen condiciones antiperiódicas como ψ L ( σ ) = − ψ L ( σ + π ) (dónde π es la periodicidad de la cadena). Estoy confundido por esto, no debería ψ ser de un solo valor?

Como seguimiento, me pregunto por qué no podemos imponer la (anti-)periodicidad como condición en la cuerda abierta; en cambio, insistimos en que la variación del campo fermiónico se desvanece en ambos extremos. ¿Porqué es eso?
Estimado @James, si los campos son periódicos, X o r ψ ( σ + π ) = X o r ψ ( σ ) , entonces la topología es un círculo porque σ es efectivamente una variable periódica, y se llama cadena cerrada. Tanto para cadenas abiertas como para cadenas cerradas, la condición que restringe la condición de contorno es la desaparición de los términos de contorno en d S .
Los términos de frontera en d S , provenientes de la integración por partes, son ψ m d ψ m | 0 π − ψ ~ m d ψ ~ m | 0 π . Esto puede desaparecer haciendo ψ y ψ ~ periódico o por ajuste ψ = ± ψ ~ en ambos puntos fronterizos σ = 0 , π . El signo relativo en estos ± entre ambos puntos finales de hecho da una versión de cadena abierta de (anti) periodicidad que conduce a modos integrales o semiintegrales. Pero es (anti) periodicidad solo en un rango duplicado.

Respuestas (1)

Querido James, no hay ninguna razón por la que ψ debe ser periodico. Primero, si tienes un problema, imagina que ψ son solo variables auxiliares pero las verdaderas son las bilineales ψ i ψ j que siguen siendo periódicas. Solo cosas como el tensor de tensión-energía de la lámina mundial T + + y T − − tienen que ser periódicos y lo son porque son bilineales en fermiones y sus derivados.

Tome una analogía con las cuerdas sinuosas. En esas cuerdas, X en σ + π es X en σ desplazado por el número de vueltas por la circunferencia. Tampoco es de un solo valor.

De manera similar, los campos de la cuerda pueden torcerse por la acción de un orbifold. La única condición es que la operación equivalente a la monodromía alrededor de la cuerda cerrada sea una simetría de la teoría. Significa que conmuta con el hamiltoniano, de modo que T a b construido a partir de los campos sigue siendo periódico.

De hecho, los números de devanado, así como las condiciones generales periódicas/antiperiódicas de los fermiones, pueden verse como casos especiales de un orbifold. Para cada posible acción de grupo permitida cuando recorre la cadena cerrada, hay una proyección similar a la OSG correspondiente en la cadena.

De hecho, las condiciones de contorno NS antiperiódicas en la cuerda son las "primarias", las más naturales que las condiciones de contorno R periódicas. Si asigna la cadena cerrada o un cilindro a un plano complejo con un operador en el centro mediante transformaciones conformes, el sector NS se asigna a operadores normales, como identidades que hacen que los fermiones tengan un valor único alrededor del origen, mientras que las condiciones de contorno R periódicas en el cilindro se vuelven antiperiódicas en el plano y están asociadas con campos de espín que crean cortes de ramas en el plano.

Entonces, el sector NS es el normal, mientras que el sector R es el torcido. Pero el sector R está permitido, de hecho, se requiere para la invariancia modular. En el tipo 0 solo existen los sectores NS NS y RR. En las teorías de tipo II, hay un orbifold separado y una proyección OSG separada en el lado que se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha.

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