Problemas para entender los BC de cuerda cerrada en la acción de Polyakov

Polchinski [1] especifica en (1.2.30) que

$$X^{\mu}(0,\tau) = X^{\mu}(l,\tau)$$ $$X'^{\mu}(0,\tau) = X'^{\mu}(l,\tau)$$ $$\gamma_{ab}(0,\tau) = \gamma_{ab}(l,\tau)$$ son de suponer. En palabras, la función$X^{\mu}(\tau,\sigma)$es tal que cuando se evalúa en$\sigma = 0$debe ser la misma función que está en$\sigma = l$. Por lo tanto, si variamos la función$X^{\mu}(\tau,\sigma)$agregándole alguna función fija en el espacio de funciones, agregando lo mismo a$X^{\mu}(\tau,\sigma)$en$\sigma = 0$tendrá que dar el mismo resultado que obtuvimos al agregar esa misma cosa a la$X^{\mu}(\tau,\sigma)$en$\sigma = l$. En otras palabras, solo podemos aplicar$\delta$para, es decir, tomar la variación de la primera ecuación anterior: $$\delta X(0,\tau) = \delta X(l,\tau)$$ de modo que $$[X' \cdot \delta X]^l_0 = X'(l,\tau) \cdot [\delta X(l,\tau) - \delta X(0,\tau)] = 0$$ ya que lo que está entre paréntesis es cero por nuestro razonamiento anterior. Si realmente quieres empujarlo, podemos escribir lo último entre paréntesis como $$\delta X(l,\tau) - \delta X(0,\tau) = \delta [X(l,\tau) - X(0,\tau)] = \delta [0] = 0.$$ La mayoría de los libros simplemente asumen que la segunda y la tercera relación son consecuencias obvias de la primera, por ejemplo, la segunda en palabras dice que si la función es la misma en los extremos, entonces su derivada en esos extremos también debería ser la misma, por lo que simplemente dicen que las condiciones de contorno se satisfacen automáticamente para una cadena cerrada sin escribir nada. Dado que la variación se contrae, incluso se pueden asumir [2] las condiciones de contorno $$X^{\mu}(\tau,l) = M^{\mu}_{\nu} X^{\nu}(\tau,0)$$ para$M$alguna matriz invertible constante tal que $$X'_{\mu}(\tau,l) \delta X^{\mu}(\tau,l) = X'_{\nu}(\tau,0) (M^{-1})^{\nu}_{\mu} M^{\mu}_{\rho} \delta X^{\rho}(\tau,0) = X'_{\nu}(\tau,0) \delta X^{\nu}(\tau,0)$$ lo que arruina la interpretación de la$X^{\mu}$como coordenadas en el espacio-tiempo pero en la compactación, etc., puede ver que podría volverse relevante.

Referencias:

1. Polchinski, "Teoría de cuerdas", Vol 1.
2. Blumenhagen, Lust y Theissen, "Conceptos básicos de la teoría de cuerdas", 1ª ed.

Después de la respuesta de Bolbteppa y el comentario útil de Gold y algo de lectura en [1], decidí escribir esta respuesta. Por simplicidad, dejemos$X^\mu(\tau, \sigma) := \gamma^\mu(\sigma)$ para fijo$\tau$con$\sigma \in [0,l]$. imponer que$\gamma^\mu(0) =\gamma^\mu(l) = a^\mu$. Definimos una deformación arbitraria de$\gamma^\mu$como una función$F_\gamma ^\mu : [-\epsilon, +\epsilon] \times [0,l] \longrightarrow \mathbb{R}$, tal que:

$$F_{\gamma} ^\mu(\alpha, \sigma) := \gamma^\mu _\alpha (\sigma) \ \text{for fixed $\alpha$} \tag1$$ y $$F_\gamma^\mu(\alpha, \sigma) := \xi^\mu _\sigma(\alpha) \ \text{for fixed $\sigma$}\tag2$$ con las siguientes condiciones:

$$\gamma^\mu _0(\sigma) = \gamma^\mu(\sigma), \ \xi^\mu _0(\alpha) = \xi^\mu_l(\alpha).\tag3$$

El$"\xi"$las condiciones son equivalentes a$\gamma^\mu_\alpha (0) = \gamma^\mu_\alpha(l)$, es decir, todas las curvas deformadas son cerradas y tienen su punto de encuentro para los mismos valores de parámetro$\sigma=0, \sigma=l$, pero no necesariamente se encuentran en el mismo punto con coordenadas$a^\mu$.

Después de todo esto, define la variación de$\gamma^\mu$tal que

$$\delta X^\mu (\tau,\sigma) = \delta \gamma^\mu(\sigma) := \frac{\text{d}\xi^\mu _\sigma}{\text{d}\alpha}(0). \tag4$$

Usando la segunda condición de$(3)$, tenemos eso

$$\delta\gamma^\mu(0) = \frac{\text{d}\xi^\mu _0}{\text{d}\alpha}(0) = \frac{\text{d}\xi^\mu _l}{\text{d}\alpha}(0) = \delta \gamma^\mu(l)$$

Al final del día, tendremos eso.$\delta X^\mu (\tau,0) =\delta X^\mu (\tau,l)$, como se desee. Fijación$\sigma$es posible ampliar la$\xi^\mu _\sigma(\alpha)$con una expansión de Taylor alrededor$\alpha =0$hasta primer orden:

$$\begin{align} \xi^\mu_\sigma(\alpha) &= \xi^\mu _\sigma(0) + \alpha \frac{\text{d}\xi^\mu _\sigma}{\text{d}\alpha}(0) + O(\alpha ^2)\\ &= \gamma^\mu(\sigma) + \alpha \delta \gamma^\mu(\sigma) + O(\alpha ^2) \end{align}$$ tal como la respuesta de Joshphysics referida en mi publicación, que es un poco diferente de la mayoría de la literatura pero aún tiene sentido.

Referencias :

1. R. Aldrovandi, JG Pereira. Introducción a la Física Geométrica , 2do. edición