Invariancia de gauge en electrodinámica clásica

Question

Invariancia de gauge en electrodinámica clásica

Física
yang-mills
teoría de calibre
invariancia de calibre
formalismo lagrangiano

caims

Creo que no entiendo completamente el concepto de invariancia de calibre. Supongamos que tenemos un Lagrangiano para la ED clásica que es:

L = - \frac{1}{4} (F_{m v})^{2} - j^{m} A_{m} .

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} (F_{\mu \nu})^2 - j^{\mu}A_{\mu}.$ La primera parte con el tensor de Maxwell es, por supuesto, invariante de calibre. Después de transformar mi A like

A^{μ} \to A^{μ} + \partial^{μ} f

$A^{\mu} \rightarrow A^{\mu} + \partial^{\mu} f$ ,

f

$f$ la función se acopla a la corriente, etc. y nuestro Lagrangiano ya no es invariante de calibre, las ecuaciones de movimiento aún funcionan y son independientes de f.

Mis preguntas son:

¿Requerimos que el Lagrangiano completo sea invariante de calibre o solo ecuaciones de movimiento?
¿Cuál es el caso en otras teorías como $SU(2)$ o $SU(3)$ ¿Teorías de calibre?

Meng Cheng

j^{μ}

$j^\mu$ se conservan, por lo que el Lagrangiano es de hecho invariante.

Respuestas (3)

Invariancia de gauge en electrodinámica clásica

$j^\mu$ se conservan, por lo que el Lagrangiano es de hecho invariante.

Ján Lalinský · Answer 1

¿Requerimos que el Lagrangiano completo sea invariante de calibre o solo ecuaciones de movimiento?

Con nuevo potencial $A'^\mu$ también una nueva densidad lagrangiana $\mathcal{L}'$ está implícito que es la misma función de sus parámetros (potencial), pero debe usarse en el nuevo indicador con nuevos argumentos (cantidades que se ingresan para evaluar la función). A saber $A'^\mu$ se utiliza en lugar de $A^\mu$ . Por lo tanto, es la misma función, pero puede tener un valor diferente para un punto de espacio-tiempo en particular $\mathbf x,t$ porque se utilizan diferentes potenciales.

Con la transformación de calibre

A^{m} \to A^{' m} = A^{m} + \partial^{m} F

$A^\mu \rightarrow A'^\mu = A^\mu + \partial^\mu f$

el valor de la nueva densidad lagrangiana para el punto $\mathbf x,t$ es

L^{'} = - \frac{1}{4} F^{' m v} F_{m v}^{'} + j^{m} A_{m}^{'}

$\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu} + j^\mu A'_\mu$

mientras que el valor de la antigua densidad lagrangiana para el mismo punto es

L = - \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v} + j^{m} A_{m} .

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + j^\mu A_\mu.$

Los términos FF tienen el mismo valor ya que el término FF es una función de campos invariantes de calibre $\mathbf E,\mathbf B$ , pero los términos jA tienen un valor diferente. La nueva densidad lagrangiana tiene mayor valor por la cantidad

j^{m} \partial_{m} F .

$j^\mu\partial_\mu f.$

Sin embargo, esta diferencia de valor entre las dos densidades lagrangianas no conduce a ninguna diferencia en los valores de las acciones.

S [A^{m}] = \int_{V} d^{3} X \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t L (A^{m})

$S[A^\mu] =\int_V\, d^3 \mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\, dt \mathcal{L}(A^\mu)$

S^{'} [A^{' m}] = \int_{V} d^{3} X \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t L^{'} (A^{' m})

$S'[A'^\mu] =\int_V\, d^3 \mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\, dt \mathcal{L}'(A'^\mu)$

si $\mathbf j$ o $\nabla f$ desaparecer en el límite de la región $V$ todo el tiempo y $\rho$ o $\partial_tf$ desaparecer a veces $t_1,t_2$ en todos lados. Esto se debe a que la diferencia

\int_{V} d^{3} X \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t j^{m} \partial_{m} F .

$\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ j^\mu\partial_\mu f.$

se puede transformar en

\int_{V} d^{3} X \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \partial_{m} (j^{m} F) - \int_{V} d^{3} X \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \partial_{m} j^{m} F .

$\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ \partial_\mu(j^\mu f) -\int_V\, d^3\mathbf x \int_{t_1}^{t_2}\,dt~ \partial_\mu j^\mu f.$

La segunda integral es cero debido a la ecuación

\partial_{m} j^{m} = 0

$\partial_\mu j^\mu = 0$ esa densidad de corriente obedece y la primera integral se puede transformar en una integral de superficie (a través del teorema de Gauss) y es cero si se cumplen las condiciones anteriores.

Resumen: tanto la densidad como la acción lagrangianas son independientes del calibre en función de sus parámetros: potenciales. Sin embargo, el valor de densidad lagrangiana no es independiente del calibre, porque el parámetro tiene un valor diferente: $A'^\mu$ en lugar de $A^\mu$ . El valor de acción es independiente del calibre, ya que la diferencia en la densidad lagrangiana se integra para dar una contribución cero.

una mente curiosa · Answer 2

Si escribes el Lagrangiano con una fuente de corriente externa $j^\mu$ , entonces necesitas usar su ley de conservación $\partial_\mu j^\mu = 0$ para concluir la invariancia del Lagrangiano. Esto no es "on-shell" (lo que haría $\delta S=0$ cierto por definición bajo cualquier transformación infinitesimal) porque aquí $j^\mu$ no es una variable dinámica, y su ley de conservación se nos proporciona como información adicional fuera de la estructura para garantizar la invariancia de calibre del modelo.

Asi es $j^{\mu}$ U(1) corriente que podemos obtener del teorema de Noether aplicado a una teoría libre y luego lo sumamos al lagrangiano como término lineal en $A^{\mu}$ ¿campo?
@Caims: Sí, esa es una forma. Otra es no dar una corriente externa en absoluto, sino acoplar mínimamente su campo de calibre a un campo de materia dado reemplazando $\partial_\mu\mapsto\partial_\mu + A_\mu$ (signos y factores de $\mathrm{i}$ omitido) en el Lagrangiano para el campo de la materia, y el justo inspeccionar cuál es el resultado $j^\mu$ es (entonces también es la corriente conservada para la versión global de la simetría de calibre).

timeo · Answer 3

Las ecuaciones de movimiento son lo que es calibre invariante. Pero la gente dirá que el lagrangiano es invariante de calibre cuando lo que quieren decir es que el lagrangiano cambia por una derivada total (lo que obliga a que las ecuaciones de movimiento sean las mismas).

Muchos lagrangianos dan las mismas ecuaciones de movimiento. Agrega una constante. Multiplica por un escalar distinto de cero. Suma una función que sea una derivada total. Mismas ecuaciones de movimiento.

Pero dado que pensamos en todos estos Lagrangianos como esencialmente los mismos Lagrangianos ( porque dan las mismas ecuaciones de movimiento) cuando decimos que un Lagrangiano es invariante de calibre, no queremos decir que es el mismo Lagrangiano cuando cambias el calibre. Queremos decir que cuando cambias el indicador obtienes un Lagrangiano que difiere en una derivada total.

Concretamente en tu caso cuando cambias de calibre, el campo electromagnético $F$ no cambia, por lo que la diferencia entre los dos lagrangianos es solo la corriente 4 $J$ veces una derivada de $f$ y dado que la corriente 4 satisface una ecuación de continuidad, una integración por partes da que este término es igual a una derivada total.

Entonces, su Lagrangiano es literalmente una función diferente cuando cambia el indicador. Sucede que es uno que difiere por una derivada total (y por lo tanto te da las mismas ecuaciones de movimiento). Y al definir la frase "invariancia de calibre de un Lagrangiano" en el sentido de que cambia a algo que difiere en una derivada total, entonces podemos decir que el Lagrangiano es invariante de calibre (aunque cambie).

Cambia a algo que está lo suficientemente cerca. La transformación de calibre no es una simetría del Lagrangiano, pero se podría hablar de una cuasi-simetría de la acción. Otra cosa diferente. Puedes ver esta publicación sobre la acción, como lo sugiere ACuriousMind.

Una acción y un Lagrangiano son diferentes. Incluso tienen diferentes unidades. Y en la publicación vinculada, verá que una cuasi-simetría de la acción difiere por una integral de límite y aquí hablamos de Lagrangianos que difieren por una derivada total. Pero es el mismo problema. Cuando integras un Lagrangiano, un término derivado total en el Lagrangiano se convierte en una integral de límite de la acción.

La invariancia de las ecuaciones de movimiento es un concepto distinto de la invariancia del Lagrangiano hasta las derivadas totales, cf. esta respuesta por Qmecánico . En particular, es la noción de (cuasi-)simetría lagrangiana (utilice "cuasi" si quiere dejar en claro la "derivada total") la que fuerza las leyes de conservación por el teorema de Noether, mientras que una mera simetría de las ecuaciones de movimiento no es.

Invariancia de gauge en electrodinámica clásica

caims

Meng Cheng

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Ján Lalinský

una mente curiosa

caims

una mente curiosa

timeo

una mente curiosa

Invariancia de calibre del lagrangiano de Yang-Mills

El lagrangiano de Faddeev-Popov

¿Cuál es la relación precisa entre una matriz Hessiana no invertible para el Lagrangiano y la presencia de una simetría de norma?

¿Hay alguna buena idea de dónde provienen las simetrías de calibre no abelianas?

La intensidad del campo se desvanece si y solo si AμAμA_{\mu} es un indicador puro

Justificación de Yang y Mills (y otros) para la invariancia del calibre local

¿Una transformación de calibre electromagnético induce una transformación U(1)U(1)U(1) en el campo?

Fijación de calibres y ecuaciones de movimiento.

¿Podemos usar el término "invariancia de calibre U (1)" para el campo electromagnético libre?

Ninguna corriente para el lagrangiano de Yang-Mills-Higgs