¿Cómo realizar la rotación de la mecha en el lagrangiano de una teoría de calibre (como QCD)?

Question

¿Cómo realizar la rotación de la mecha en el lagrangiano de una teoría de calibre (como QCD)?

Física
yang-mills
teoría de calibre
rotación de mecha
formalismo lagrangiano
cromodinámica-cuántica

WilhelmM

Estoy estudiando Lattice QCD y me quedé atascado en la comprensión del proceso de pasar de un espacio-tiempo de Minkowski a un espacio-tiempo euclidiano. Mi procedimiento es el siguiente:

Consideré la rotación de Wick en la mecánica cuántica. $x_0 \to -i x_4$ . A partir de esto, pensé que sería razonable suponer que para el vector potencial, la rotación de Wick sería $A_0 \to -i A_4$ , desde $A_\mu$ es un cuatro-vector como $x_\mu$ . Esto implica $F_{0 i}F^{0 i} \to -F_{4 i}F_{4 i}$ y asumiendo una métrica $g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(1,-1,-1,-1)$ , esto resulta en $F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} \to -F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}$ . Ahora, considerando que $d^4x = dt\, d^3x \to -i d\tau\, d^3x$ la acción debe transformarse como

i S = - \frac{i}{2} \int d^{4} X Tr (F_{m v} F^{m v}) \to \frac{1}{2} \int d^{4} X Tr (F_{m v} F_{m v}) = S_{mi},

$\begin{equation} i S = -\frac{i}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}) \to \frac{1}{2}\int d^4x \;\mbox{Tr}(F_{\mu \nu}F_{\mu \nu}) = S_E\,, \end{equation}$ dónde

S_{E}

$S_E$ es la acción euclidiana, que es un número positivo. Entonces,

i S \to S_{E}

$iS \to S_E$ en lugar de lo esperado

i S \to - S_{E}

$iS \to -S_E$ . Obviamente estoy haciendo algo mal. Sospecho que podría ser en la transformación de

d^{4} x

$d^4x$ , pero no puedo ver por qué estaría mal. Una cosa que noté es que si uso la métrica

g^{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)

$g^{\mu \nu} = \;\mbox{diag}(-1,1,1,1)$ , entonces obtengo la señal adecuada. Pero esto es cambiar la métrica en medio del cálculo, lo que sería incorrecto sin compensar con una señal negativa adecuada y luego el problema persistiría.

También tengo problemas con el sector fermiónico. yo considere $\partial_0 \to -i\partial_4$ siguiendo la transformación de $x_0$ . Además, vi en los libros (Gattringer, Rothe) que se necesitaba que $\gamma^0 \to \gamma_4$ y $\gamma^i \to i \gamma_i$ por lo que la definición de $\gamma$ las matrices pueden cambiar de $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2 g^{\mu \nu} \to \{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \delta_{\mu \nu}$ . Se ve razonable. El problema es que la transformación en la acción se vuelve

i S = i \int d^{4} X \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} + {gramo}_{0} γ^{m} A_{m} - metro) ψ \to \int d^{4} X \bar{ψ} (γ_{m} \partial_{m} - i {gramo}_{0} γ_{m} A_{m} - metro),

$\begin{equation} iS = i\int d^4x \; \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu + g_0 \gamma^\mu A_\mu - m)\psi \to \int d^4x \;\bar{\psi}(\gamma_\mu \partial_\mu - i g_0 \gamma_\mu A_\mu - m)\,, \end{equation}$

que no es la acción euclidiana. Traté de usar $A_0 \to i A_4$ con la esperanza de haber cometido algún error en la lógica anterior, pero sin suerte. Entonces, ¿cuál es la prescripción para realizar la rotación de Wick? ¿Cómo saber qué transformaciones debo realizar en una rotación de mecha?

Respuestas (1)

¿Cómo realizar la rotación de la mecha en el lagrangiano de una teoría de calibre (como QCD)?

qmecanico · Answer 1

I) Parte bosónica: cuando giramos la mecha, es más natural usar la convención de firma $(-,+,+,+)$ para la métrica de Minkowski (M) $g^M_{\mu\nu}$ , y $(+,+,+,+)$ para la métrica euclidiana (E) $g^E_{\mu\nu}$ , cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Usaremos índices griegos $\mu,\nu=0,1,2,3$ , para denotar índices de espacio-tiempo curvos; índices romanos $a,b=0,1,2,3$ , para índices de espacio-tiempo planos; e índices romanos $j,k=1,2,3$ , para índices espaciales. No volveremos a etiquetar $x^0=x^4$ para evitar alterar la orientación.

Las convenciones estándar para la rotación de Wick son [1]

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - S_{mi} = & i S_{METRO} acción, \\ t_{mi} = & i t_{METRO} tiempo, \\ - L_{mi} = & L_{METRO} Densidad lagrangiana, \\ d^{4} X_{mi} = & i d^{4} X_{METRO} tiempo espacial 4 -forma, \\ - L_{mi} = & i L_{METRO} Lagrangiano 4 -forma, \\ V_{mi}^{0} = & i V_{METRO}^{0} compensación cero de vector contravariante, \\ V_{0}^{METRO} = & i V_{0}^{mi} compensación cero de vector covariante, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -S_E~=~&iS_M \quad\text{action}, \cr t_E~=~&it_M \quad\text{time}, \cr -{\cal L}_E~=~&{\cal L}_M \quad\text{Lagrangian density}, \cr d^4x_E~=~&id^4x_M \quad\text{spacetime $4$-form}, \cr -\mathbb{L}_E~=~&i\mathbb{L}_M \quad\text{Lagrangian $4$-form}, \cr V_E^0~=~&iV_M^0 \quad\text{zero-comp. of contravariant vector}, \cr V^M_0~=~&iV^E_0 \quad\text{zero-comp. of covariant vector}, \end{align}\tag{1}$

y una generalización directa a campos tensoriales $T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}$ . (Nota: los índices del símbolo de Levi-Civita no están rotados por Wick, ya que los valores del símbolo solo consisten en $\pm 1$ y $0$ .) Tanto los índices curvos como los planos se giran con mecha. Por esta razón el determinante del vielbein

\begin{matrix} (2) & mi = det ({mi}_{m}^{a}) y \sqrt{| gramo |} = \sqrt{det ({gramo}_{m v}) det (η^{a b})} \end{matrix}

$e~=~\det(e^a_{\mu})\quad\text{and}\quad\sqrt{|g|}~=~\sqrt{\det(g_{\mu\nu})\det(\eta^{ab})}\tag{2}$ son invariantes bajo la rotación de mecha.

Ejemplo: Término topológico/theta/Chern-Simons. Considere un término Lagrangiano de 4 formas de la forma de un $4$ -forma

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} i L_{mi} \overset{(1)}{=} & L_{METRO} = Ω_{METRO} = d^{4} X_{METRO} Ω_{0123}^{METRO} \\ \overset{(1)}{=} & d^{4} X_{mi} Ω_{0123}^{mi} = Ω_{mi} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i\mathbb{L}_E~\stackrel{(1)}{=}~&\mathbb{L}_M~=~\Omega_M~=~d^4x_M ~\Omega^M_{0123}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&d^4x_E ~\Omega^E_{0123}~=~\Omega_E. \end{align}\tag{3}$ El término de densidad lagrangiana correspondiente dice

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} - L_{mi} \overset{(1)}{=} & L_{METRO} = \frac{mi}{4!} ε^{m_{0} m_{1} m_{2} m_{3}} Ω_{m_{0} m_{1} m_{2} m_{3}}^{METRO} = Ω_{0123}^{METRO} \\ \overset{(1)}{=} & i Ω_{0123}^{mi} = \frac{i mi}{4!} ε^{m_{0} m_{1} m_{2} m_{3}} Ω_{m_{0} m_{1} m_{2} m_{3}}^{mi} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -{\cal L}_E~\stackrel{(1)}{=}~& {\cal L}_M~=~\frac{e}{4!}\varepsilon^{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} \Omega^M_{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3}~=~ \Omega^M_{0123}\cr ~\stackrel{(1)}{=}~&i\Omega^E_{0123}~=~\frac{ie}{4!}\varepsilon^{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} \Omega^E_{\mu_0\mu_1\mu_2\mu_3} .\end{align}\tag{4}$

Ejemplo: cinético $F\wedge \star F$ término.

\begin{matrix} (5) & L_{mi} \overset{(1)}{=} - L_{METRO} = \frac{mi}{4} F_{m v}^{METRO} F_{METRO}^{m v} \overset{(1)}{=} \frac{mi}{4} F_{m v}^{mi} F_{mi}^{m v} . \end{matrix}

${\cal L}_E~\stackrel{(1)}{=}~-{\cal L}_M~=~\frac{e}{4}F^M_{\mu\nu}F_M^{\mu\nu}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{e}{4}F^E_{\mu\nu}F_E^{\mu\nu}.\tag{5}$

Ejemplo: QED en espacio plano. Consideremos aquí solo QED (teoría de calibre abeliana), y dejemos que el lector generalice a QCD (teoría de calibre no abeliana). El componente cero de las variables de indicador (con índices hacia abajo) es un covector/forma única y debe transformarse como una derivada del tiempo

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial t_{METRO}} \overset{(1)}{=} i \frac{\partial}{\partial t_{mi}} \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t_M}~\stackrel{(1)}{=}~i \frac{\partial}{\partial t_E}\tag{6}$

bajo la rotación de la mecha. Esto implica

\begin{matrix} (7) & - A_{METRO}^{0} = A_{0}^{METRO} \overset{(1)}{=} i A_{0}^{mi} = i A_{mi}^{0}, F_{0 j}^{METRO} \overset{(1)}{=} i F_{0 j}^{mi}, \end{matrix}

$-A^0_M~=~A^M_0~\stackrel{(1)}{=}~iA^E_0~=~iA^0_E, \qquad F^M_{0j}~\stackrel{(1)}{=}~iF^E_{0j},\tag{7}$

Por lo tanto, la densidad lagrangiana de Maxwell se transforma como

\begin{matrix} (8) & L_{METRO} = - \frac{1}{4} F_{m v}^{METRO} F_{METRO}^{m v} = \frac{1}{2} F_{0 j}^{METRO} F_{0 j}^{METRO} - \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k}, \end{matrix}

${\cal L}_M~=~-\frac{1}{4}F^M_{\mu\nu}F_M^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}F^M_{0j}F^M_{0j}-\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}, \tag{8}$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} L_{METRO} = & T_{METRO} - V, \\ T_{METRO} = & \frac{1}{2} F_{0 j}^{METRO} F_{0 j}^{METRO}, \\ V = & \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k}; \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_M~=~&{\cal T}_M-{\cal V},\cr {\cal T}_M~=~&\frac{1}{2}F^M_{0j}F^M_{0j}, \cr {\cal V}~=~&\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk};\end{align}\tag{9}$

y

\begin{matrix} (10) & L_{mi} = \frac{1}{4} F_{m v}^{mi} F_{mi}^{m v} = \frac{1}{2} F_{0 j}^{mi} F_{0 j}^{mi} + \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k}, \end{matrix}

${\cal L}_E~=~\frac{1}{4}F^E_{\mu\nu}F_E^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}F^E_{0j}F^E_{0j}+\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk},\tag{10}$

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} L_{mi} = & T_{mi} + V, \\ T_{mi} = & \frac{1}{2} F_{0 j}^{mi} F_{0 j}^{mi}, \\ V = & \frac{1}{4} F_{j k} F_{j k} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_E~=~&{\cal T}_E+{\cal V},\cr {\cal T}_E~=~&\frac{1}{2}F^E_{0j}F^E_{0j}, \cr {\cal V}~=~&\frac{1}{4}F_{jk}F_{jk}.\end{align}\tag{11}$

En particular, una densidad euclidiana lagrangiana ${\cal L}_E$ parece una densidad lagrangiana estándar (es decir, término cinético menos término potencial), con un potencial aparente igual a menos ${\cal V}$ .

II) Parte fermiónica: la rotación de la mecha de los campos de espinor es un problema no trivial bien conocido, cf. por ejemplo, ref. 2-4.

Referencias:

W. Siegel, Campos ; pag. 329.
P. van Nieuwenhuizen y A. Waldron, Una rotación continua de Wick para campos espinores y supersimetría en el espacio euclidiano, arXiv:hep-th/9611043 .
AJ Mountain, Rotación de Wick y supersimetría , 1999.
A. Bilal y S. Metzger, arXiv:hep-th/0307152 .

Notas para más tarde: $\quad -(S_E-\int\! dt_E~J_k\phi^k)~=~-S_E+\int\! dt_E~J_k\phi^k~=~i(S_M+\int\! dt_M~ J_k\phi^k)$ ; Fuentes externas $J_k^E~=~J_k^M$ ¡no cambia! $\quad -W_c^E[J]~=~iW_c^M[J]$ ; $\quad -(W_c^E[J] +\int\! dt_E~J_k\phi_{\rm cl}^k )~=~ -\Gamma_E[\phi_{\rm cl}] ~=~i\Gamma_M[\phi_{\rm cl}] ~=~i(W_c^M[J]-\int\! dt_M~J_k\phi_{\rm cl}^k)$ ¡Observe menos menos en la transformación de Legendre!
Notas para más adelante: Términos Kin-pot: Anti-acción $\quad s_M := -S_M$ ; $\quad S_E=:s_E=is_M:=-iS_M$ ; Densidad anti-lagrangiana $\quad {\cal L}_E=\ell:=-{\cal L}_M$ ; $\quad\ell={\cal V}+g^{00}{\cal T}$ ;
Notas para más adelante: Suponemos implícitamente que $t_f\geq t_i$ en la región de integración temporal. Si $t_f< t_i$ , necesitamos opuestos $i\epsilon$ prescripción y rotación opuesta de la mecha.

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WilhelmM

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