Propagador de Feynman para valores arbitrarios del parámetro de calibre ζζ\zeta

por la eleccion$\zeta = 1$el lagrangiano se puede llevar a una forma particularmente simple al integrarlo por partes en la integral de acción. Ecuación

$$\mathcal{L}' = -{1\over4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - {1\over2}\zeta(\partial_\sigma A^\sigma)^2$$ con $\zeta = 1$se puede transformar en $$\mathcal{L}' = -{1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu + {1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu - {1\over2}\partial_\mu \partial_\nu A^\nu$$ $$= -{1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu + {1\over2} \partial_\mu [A_\nu(\partial^\nu A^\mu) - (\partial_\nu A^\nu)A^\mu].$$ El último término es una cuádruple divergencia que no tiene influencia en las ecuaciones de campo. Por lo tanto, la dinámica del campo electromagnético (en el calibre de Lorentz) puede describirse mediante el Lagrangiano simple $$\mathcal{L}'' = -{1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu.\tag*{$(*)$}$$

Más adelante en el libro que estoy leyendo, tenemos lo siguiente, donde se resuelve para el caso de arbitrariedad$\zeta$:

Si el parámetro de fijación del indicador es$\zeta \neq 1$el lagrangiano$(*)$se cambia a

$$\mathcal{L}'' = -{1\over2} \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - {{\zeta - 1}\over2}(\partial_\nu A^\nu)^2.$$

Para mí, sin embargo, no está tan claro cómo esta fórmula para$\mathcal{L}''$viene de aquí en el caso de arbitraria$\zeta$. ¿Alguien podría ayudar a explicar?