Invariancia de acción ⇒⇒\Covarianza de flecha derecha de las ecuaciones de campo?

En esta respuesta mostramos formalmente que una (cuasi) simetría de una acción implica una simetría correspondiente de su EOM$^{\dagger}$. La respuesta no discute la forma de covarianza de EOM. Para conocer más relaciones entre simetrías de acción, EOM y soluciones de EOM, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Recordemos primero la definición de cuasi-simetría de la acción

$$S_V[\phi]~:=~\int_V \! \mathbb{L}, \qquad \mathbb{L}~:=~{\cal L}~d^nx.\tag{1}$$

Significa que la acción (1) cambia por una integral de frontera

$$S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] +\int_{\partial V^{\prime}} \!d^{n-1}x~(\ldots) ~=~S_V[\phi]+ \int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots) \tag{2}$$

bajo la transformación. A continuación supondremos que la región de integración del espacio-tiempo$V$es arbitrario

Teorema. Si una acción local funcional$S_V[\phi]$tiene una transformación cuasi-simétrica

$$\phi^{\alpha}(x)~~\longrightarrow~~ \phi^{\prime \alpha}(x^{\prime}), \qquad x^{\mu}~~\longrightarrow~~x^{\prime \mu}, \tag{3}$$ entonces la MOE $$e_{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x)~:=~\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}~\approx~0\tag{4}$$ debe tener una simetría (wrt. la misma transformación) $$e_{\alpha}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),\ldots ; x^{\prime})~\approx~e_{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x).\tag{5}$$

I) Prueba finita formal: Esto funciona tanto para una cuasi-simetría discreta como para una continua.

$$\begin{align} e_{\alpha}&(\phi(x),\partial\phi(x),\ldots ; x)\cr ~:=~&\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~\stackrel{{\ddagger}}{\sim}~&\int_{V^{\prime}}\!d^nx^{\prime}~\frac{\delta S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]}{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})} \frac{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})}{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~=~&\int_{V^{\prime}}\!d^nx^{\prime}~e_{\alpha}(\phi^{\prime}(x^{\prime}),\partial^{\prime}\phi^{\prime}(x^{\prime}),\ldots ; x^{\prime}) \frac{\delta \phi^{\prime\alpha}(x^{\prime})}{\delta \phi^{\alpha}(x)}.\end{align} \tag{6}$$

II) Prueba infinitesimal formal: Esto solo funciona para una cuasi-simetría continua. De la transformación infinitesimal (3)

$$\begin{align} \delta \phi^{\alpha}(x)~:=~&\phi^{\prime \alpha}(x^{\prime})-\phi^{\alpha}(x), \cr \delta x^{\mu}~:=~&x^{\prime \mu}-x^{\mu},\end{align} \tag{7}$$

definimos una llamada transformación vertical

$$\begin{align} \delta_0 \phi^{\alpha}(x)~:=~&\phi^{\prime \alpha}(x)-\phi^{\alpha}(x)\cr ~=~&\delta \phi^{\alpha}(x)-\delta x^{\mu} ~d_{\mu}\phi^{\alpha}(x),\cr d_{\mu}~:=~&\frac{d}{dx^{\mu}},\end{align} \tag{8}$$

que transforma de los campos$\phi^{\alpha}(x)$sin transformar los puntos del espacio-tiempo$x^{\mu}$. La cuasi-simetría implica que el Lagrangiano$n$-forma$\mathbb{L}$se transforma con una derivada total del espacio-tiempo

$$\begin{align} \delta \mathbb{L}~=~&d_{\mu} f^{\mu}~d^nx, \cr \delta_0 \mathbb{L}~=~&d_{\mu}(f^{\mu}-{\cal L}~\delta x^{\mu})~d^nx.\end{align} \tag{9}$$

Los EOM (4) son típicamente de segundo orden, así que asumamos esto por simplicidad. (Esta suposición no es necesaria.) Entonces la transformación infinitesimal de EOM (4) se lee

$$\begin{align} \delta e_{\alpha}(x)~=~&\delta_0 e_{\alpha}(x) +\delta x^{\mu} ~\underbrace{d_{\mu} e_{\alpha}(x)}_{\approx 0}\cr ~\approx~&\delta_0 e_{\alpha}(x) \cr ~=~&\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial\phi^{\beta}(x)}\delta_0\phi^{\beta}(x) +\sum_{\mu}\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial(\partial_{\mu}\phi^{\beta}(x))}d_{\mu}\delta_0\phi^{\beta}(x)\cr &+\sum_{\mu\leq \nu }\frac{\partial e_{\alpha}(x)}{\partial(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\beta}(x))}d_{\mu}d_{\nu}\delta_0\phi^{\beta}(x) \cr ~\stackrel{{\ddagger}}{\sim}~& \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta e_{\alpha}(x)}{\delta \phi^{\beta}(y)}\cr ~=~&\int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta^2 S_V[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)\delta \phi^{\alpha}(x)} \cr ~=~& \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta^2 S_V[\phi]}{\delta \phi^{\alpha}(x)\delta\phi^{\beta}(y)} \cr ~=~& \frac{\delta}{\delta \phi^{\alpha}(x)} \int_V\! d^ny~ \delta_0\phi^{\beta}(y)\frac{\delta S_V[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)} \cr &-\int_V\! d^ny~ \frac{\delta(\delta_0\phi^{\beta}(y))}{\delta \phi^{\alpha}(x)} \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^{\beta}(y)} \cr ~\sim~& \frac{\delta(\delta_0 S_V[\phi]) }{\delta \phi^{\alpha}(x)} -\int_V\! d^ny~ \frac{\delta(\delta_0\phi^{\beta}(y))}{\delta \phi^{\alpha}(x)} e_{\beta}(y) \cr ~\approx~& \frac{\delta(\delta_0 S_V[\phi]) }{\delta \phi^{\alpha}(x)}\cr ~=~&0. \end{align} \tag{10}$$

En el último paso de la ec. (10) usamos que la variación infinitesimal

$$\begin{align} \delta_0 S_V[\phi]+\int_V\! d^nx~d_{\mu} \left({\cal L}~\delta x^{\mu} \right) ~=~&\delta S_V[\phi]\cr ~=~&\int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots)\end{align} \tag{11}$$

de la acción es una integral de frontera por la suposición (2), de modo que su derivada funcional (10) debe desaparecer (si existe).

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$^{\dagger}$ Terminología y notación: Ecuaciones de movimiento (EOM) significa ecuaciones de Euler-Lagrange (1). Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si los EOM están satisfechos o no. El$\approx$símbolo significa igualdad módulo EOM.

$^{\ddagger}$Advertencia: este paso no siempre está justificado. El$\sim$El símbolo indica que hemos integrado formalmente por partes y hemos ignorado las contribuciones de contorno. También hemos supuesto que la derivada funcional pertinente está bien definida y existe. Esta salvedad es la principal deficiencia de la prueba formal dada aquí. El punto es bastante serio, por ejemplo, en el caso de un global (=$x$-independiente), que normalmente no desaparece en el límite. Por lo tanto, las contribuciones de los límites podrían, en principio, desempeñar un papel.

Sin embargo, en lugar de usar derivadas e integraciones funcionales, es posible probar la ec. (10)$x$-en la zona

$$\begin{align} \delta_0 e_{\alpha}(x)~=~&\ldots \cr~=~&\underbrace{E_{\alpha(0)} d_{\mu}}_{=0}\left(f^{\mu}(x)-{\cal L}(x)~\delta x^{\mu}\right)\cr &- \sum_{k\geq 0} d^k\left( \underbrace{e_{\beta}(x)}_{\approx 0} \cdot P_{\alpha(k)}\delta_0\phi^{\beta}(x) \right)\cr ~\approx~& 0 \end{align}\tag{12}$$

usando solo derivadas de campo parciales más altas

$$P_{\alpha(k)} ~:=~\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha(k)}}, \qquad k~\in~\mathbb{N}_0^n,\tag{13}$$

y operadores de Euler superiores

$$E_{\alpha(k)} ~:=~\sum_{m\geq k} \begin{pmatrix} m \cr k\end{pmatrix} (-d)^m P_{\alpha(m)}, \tag{14}$$

que todos se refieren al mismo punto del espacio-tiempo$x$. Este$x$-El enfoque local evita el problema de las contribuciones fronterizas no contabilizadas.