¿Es el lagrangiano un escalar?

Supongo que trabajo en física clásica. Considere el espacio$M$equipado con un parche de coordenadas locales lagrangianas$t, q^1,\ldots, q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n$. Suponga que el Lagrangiano (suave) de un sistema físico dado toma la forma, en ese parche de coordenadas:

$${\cal L}= {\cal L}(t, q^1,\ldots, q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n)\:.$$ Luego, las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen, en ese parche de coordenadas:

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}^k}= \frac{\partial {\cal L}}{\partial q^k}\:, \qquad \frac{dq^k}{dt}= \dot{q}^k\:, \quad k=1,\ldots, n\:. \quad (1)$$

El segundo conjunto de ecuaciones recuerda que$\dot{q}^k$y$q^k$deben considerarse como variables independientes , mientras que su relación natural se mantiene solo en las curvas

$$\mathbb R \ni t \mapsto (q^1(t),\ldots, q^n(t), \dot{q}^1(t),\ldots, \dot{q}^n(t))$$ describir el movimiento del sistema. Que pasa si cambiando coordenadas larangianas, pasando a coordenadas $T, Q^1,\ldots, Q^n, \dot{Q}^1,\ldots, \dot{Q}^n$tal que: $$t=T+c\:,\quad q^k=q^k(T, Q^1,\ldots, Q^n)\:, \quad \dot{q}^k= \frac{\partial q^k}{\partial T}+ \sum_{j=1}^n \frac{\partial q^k}{\partial Q^j}{\dot Q}^j\:,\quad (2)$$ dónde $c\in \mathbb R$es una constante, $k=1,2,\ldots ,n$, y se supone que la transformación escrita es suave con inversa (del mismo tipo) suave?

(La transformación$t=T+c$simplemente establece que, en la física clásica, el tiempo es absoluto y sólo puede cambiarse redefiniendo su origen). Es posible probar el siguiente teorema.

TEOREMA. Si se define la nueva función Lagrangiana en el parche de coordenadas equipado con coordenadas$T, Q^1,\ldots, Q^n, \dot{Q}^1,\ldots, \dot{Q}^n$:

$${\cal L}'(T,Q^1,\ldots, Q^n, \dot{Q}^1, \ldots, \dot{Q}^n) := {\cal L}(t, q^1,\ldots, q^n, \dot{q}^1,\ldots, \dot{q}^n)\:,\qquad (3)$$ donde las nuevas coordenadas están relacionadas con las antiguas a través de (2), luego una curva suave $$\mathbb R \ni t \mapsto (q^1(t),\ldots, q^n(t), \dot{q}^1(t),\ldots, \dot{q}^n(t))$$ satisface (1) si y solo si la curva correspondiente (a través de la inversa de (2))
$$\mathbb R \ni T \mapsto (Q^1(T),\ldots, Q^n(T), \dot{Q}^1(T),\ldots, \dot{Q}^n(T))$$ resuelve $$\frac{d}{dT} \frac{\partial {\cal L}'}{\partial \dot{Q}^k}= \frac{\partial {\cal L}'}{\partial Q^k}\:, \qquad \frac{dQ^k}{dT}= \dot{Q}^k\:, \quad k=1,\ldots, n\:.$$

En la práctica el teorema dice que, si asumimos que$\cal L$es un escalar (como está escrito en (3)) , entonces las soluciones de las ecuaciones dinámicas no dependen de las coordenadas utilizadas como lo requiere la física.

OBSERVACIÓN. Este resultado no es de ninguna manera obvio. Por ejemplo, si se pasa de la formulación lagrangiana a la hamiltoniana, no hay un resultado análogo: las soluciones de las ecuaciones dinámicas no dependen de las coordenadas utilizadas siempre que la función hamiltoniana no tenga un comportamiento escalar cambiando las coordenadas hamiltonianas .$(t,q, p) \to (T,Q,P)$. (El problema surge solo cuando el tiempo aparece explícitamente en la transformación de coordenadas).

El teorema mencionado nos permite elegir las coordenadas lagrangianas y la función lagrangiana de forma independiente. Por ejemplo, considere un punto de materia restringido a permanecer en una superficie lisa$\Sigma$en reposo con un marco de referencia no inercial$I'$, cuyo movimiento se da con respecto a un marco de referencia inercial$I$. Es claro que las ecuaciones se simplifican si se describe el sistema usando coordenadas en reposo con$I'$(coordenadas en$\Sigma$), ya que la ecuación de la superficie que contiene el punto no depende del tiempo en$I'$. Sin embargo, en$I'$, aparecen fuerzas de inercia, y estas tienen que ser incluidas en el Lagrangiano dando lugar a una forma funcional complicada. El teorema enunciado permite hacer una elección intermedia: escribir el Lagrangiano${\cal L}|_I := K|_{I}-V|_{I}$con respecto a$I$, por lo que no se debe tener en cuenta ninguna fuerza de inercia en$V|_I$, pero utilizando coordenadas adaptadas a$I'$. La discusión obviamente se aplica también al caso de ambos$I$y$I'$inercial

Lo que dices en tu pregunta sobre el Lagrangiano:

$${\cal L}=\frac12m\left(\frac{dz}{dt}\right)^2-mgz\to L=\frac12m\left(\frac{dz}{dt}\right)^2-mgz-mga$$ no tiene nada que ver con el hecho de que el lagrangiano sea un escalar o no, porque está considerando transformaciones de coordenadas activas en lugar de pasivas al discutir estos temas. Tienes dos sistemas de coordenadas. $t,z, \dot{z}$y $T,Z,\dot{Z}$con $$T=t\:, \quad Z=z+h\;, \quad \dot{Z}= \dot{z}\:.\qquad (4)$$ Asumir que el Lagrangiano es un escalar no significa nada más que eso, si en coordenadas $t,z,\dot{z}$: $${\cal L}(t,z,\dot{z}) =\frac12m\left(\frac{dz}{dt}\right)^2-mgz\:,\qquad(5)$$ el lagrangiano en coordenadas $T,Z,\dot{Z}$debe verificar: $${\cal L}'(T,Z,\dot{Z})=\frac12m\left(\frac{dz}{dt}\right)^2-mgz$$ de modo que, explotando (4): $${\cal L}'(T,Z,\dot{Z})=\frac12m\left(\frac{dZ}{dT}\right)^2-mg(Z-h)$$ que tiene una forma diferente a (5), ¡pero no importa!

Lo que es físicamente (un poco) inesperado de su ejemplo es que la forma del Lagrangiano cambia cambiando el marco de referencia, incluso si los dos marcos de referencia son completamente equivalentes físicamente . Este no es un verdadero problema, solo en vista del teorema establecido y la discusión que sigue a la OBSERVACIÓN anterior: Hay muchos Lagrangianos equivalentes para el mismo sistema físico. Si en coordenadas$T, Z, \dot{Z}$empiezas a formar un larangiano con la misma forma de${\cal L}$, Quiero decir:

$${\cal L}'_1 = \frac12m\left(\frac{dZ}{dT}\right)^2-mgZ$$ se obtiene la misma ecuación de movimiento que las obtenidas de ${\cal L}'$, incluso si ${\cal L}'_1 \neq {\cal L}'$.

Como observación final, observe que, incluso si${\cal L}'_1 \neq {\cal L}'$, los funcionales de acción asociados a estos lagrangianos coinciden. Esto sugiere otro punto de vista general sobre estos temas, pero no quiero abrir otra discusión larga aquí.