El Lagrangiano de una partícula libre en Landau & Lifshitz

En la derivación de Landau & Lifshitz del Lagrangiano de una partícula libre en un marco de referencia galileano, se encuentra el siguiente argumento: las ecuaciones de movimiento en dos marcos galileanos deben ser idénticas; por lo tanto, los lagrangianos respectivos deben diferir en la derivada total de una función de la posición generalizada y el tiempo. Esto es esencialmente lo contrario de lo que los autores señalan como justificación, a saber, que agregar dicho término al Lagrangiano deja las ecuaciones sin cambios, y realmente no entiendo por qué se mantiene. La única respuesta relevante que encontré en stackexchange es la interpretación de Qmechanics en Derivación del lagrangiano para una partícula libre , pero debo admitir que no me satisface del todo.

Editar: estoy preguntando por qué las modificaciones del Lagrangiano que no cambian las ecuaciones de EL son necesariamente la suma de una derivada total (y la multiplicación por un escalar), como afirma L&L.

Puede que me equivoque, pero usar las ecuaciones de Euler-Lagrange en este contexto es bastante circular, ¿no? Lo que deberíamos intentar probar es que algo que no cambia las ecuaciones es una derivada total, etc., no que algo que no cambia las ecuaciones, bueno, no cambia las ecuaciones. Además, la respuesta que vinculé da la forma final del Lagrangiano, mientras que Landau usa otro argumento después del que mencioné.
Tenga en cuenta que mi uso de EL eqs. no es lógica circular. Es un truco identificar términos que son derivados totales.
Debo admitir que esto es algo confuso, pero creo que no estás arreglando el método de Landau, sino que el tuyo es completamente diferente; él dice que los lagrangianos deben diferir en cierto tipo de función y luego establece que dL/d(v^2) es una constante, pero tú dices que la diferencia debe obedecer a Euler-Lagrange y luego encuentras una fórmula para ello; o estoy malinterpretando?
FWIW, L&L no parecen mencionar la multiplicación por un escalar como afirma OP (v2).
Ambas huellas que vinculaste no tienen los requisitos previos para entender bien. En cuanto a la multiplicación por un escalar, Landau la descarta en el párrafo 3 (es decir, en el contexto de dos sistemas). Lo siento si estoy siendo un poco franco, no entiendo por qué no hay una respuesta disponible para mi consulta; después de todo, ¿no debería atormentar a todos los lectores de Landau inclinados a las matemáticas? PD: Creo que mi pregunta no merece la etiqueta 'poco clara'.
Si se me permite añadir (¡y seguramente con la debida deferencia a Landau!) toda la derivación está repleta de errores lógicos. Cuando se ha obtenido que L es una constante por la velocidad al cuadrado, para demostrar que la constante es positiva los autores parecen utilizar que existe un único camino que minimiza la acción, sin probar ni siquiera mencionar el hecho.
DE ACUERDO. Esa es la ecuación. (2.7) en § 2 . Enlace: Renaissance.ucsd.edu/courses/mae207/mech.pdf

Respuestas (1)

La lógica de L&L es la siguiente:

  1. Demandas de L&L 1 que una transformación galileana (infinitesimal) debería ser una cuasisimetría (QS) del funcional de acción buscado S .

  2. Exigimos además que

    • el funcional de acción es local, y
    • el espacio de posición es contractible.

  3. De esta publicación de Phys.SE, deducimos que una transformación galileana (infinitesimal) es de hecho un QS del Lagrangiano L sí mismo. Esto significa por definición que el cambio Δ L en el Lagrangiano es una derivada de tiempo total, como OP quería mostrar.

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1 Esto es razonable ya que la mecánica newtoniana tiene simetría galileana. Sin embargo, existe potencialmente una escapatoria ya que una simetría de EOM no tiene que ser un QS de la acción, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Entonces la gran pregunta se convierte en:

¿Cuánto podemos cambiar la acción sin afectar la MOE?

Esa es una buena pregunta, que esencialmente también se hizo en esta publicación de Phys.SE.

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