Transformaciones on-shell y off-shell en el teorema de Noether

Question

Transformaciones on-shell y off-shell en el teorema de Noether

ersbygre1

Para cualquier transformación de los campos,

φ \to φ^{'} = φ + d φ

$\varphi\to\varphi'=\varphi+\delta\varphi$ el cambio en el Lagrangiano se puede escribir como

\begin{matrix} (1) & d L = MOE + \partial_{m} j^{m} \end{matrix}

$\delta\mathcal L = \text{EoM} + \partial_\mu j^\mu\tag{1}$ donde "EoM" representa las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Euler-Lagrange) y todos los demás términos se pueden escribir como una derivada total de alguna función

j^{μ}

$j^\mu$ , que es una función conocida en términos del Lagrangiano.

Me gustaría distinguir las diferentes realizaciones de las transformaciones. Supongamos que la transformación (1) deja la acción invariante, $\delta S=0$ .

$\delta\mathcal L=0$
- MOE $=0$ , "on-shell": No se conserva ninguna corriente, $\partial_\mu j^\mu=0$ .
- MOE $=\partial_\mu b^\mu\neq0$ , "off-shell": corriente Noether modificada $J^\mu = j^\mu+b^\mu$ se conserva, $\partial_\mu J^\mu=0$ .
$\delta\mathcal L =\partial_\mu a^\mu \neq 0$ , "cuasi-simetría"
- MOE $=0$ , "on-shell": corriente Noether modificada $J^\mu = j^\mu-a^\mu$ se conserva, $\partial_\mu J^\mu=0$ .
- MOE $=\partial_\mu b^\mu\neq0$ , "off-shell": corriente Noether modificada $J^\mu = j^\mu-a^\mu+b^\mu$ se conserva, $\partial_\mu J^\mu=0$ .

¿Es correcto este listado?

¿Qué papel juegan los términos "on/off-shell" y "(cuasi)simetría" en el teorema de Noether?

Relacionado: uno , dos , tres , cuatro , cinco .

Jess Riedel

Consulte también esta respuesta para orientarse.

Respuestas (1)

Transformaciones on-shell y off-shell en el teorema de Noether

qmecanico · Answer 1

La suposición en el (primer) teorema de Noether es un fuera de la cáscara $^1$ cuasisimetría de la acción $S$ . Conduce a una identidad Noether fuera del caparazón identidad Noether fuera del caparazón
$\begin{matrix} (A) & d_{m} j^{m} \equiv - \frac{d S}{d ϕ^{α}} Y_{0}^{α} . \end{matrix}$ $d_{\mu} J^{\mu} ~\equiv~ - \frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}} \tag{A}Y_0^{\alpha}.$ Aquí $J^{\mu}$ es la corriente total de Noether, que es necesariamente no trivial; y $Y_0^{\alpha}$ es un generador de simetría (vertical). La identidad fuera del caparazón (A) implica a su vez una ecuación continua/ley de conservación dentro del caparazón.
Una cuasisimetría en el caparazón de la acción. $S$ es una tautología. No tiene asociada una ecuación continua/ley de conservación. Incluso una simetría estricta de la acción $S$ (o la densidad lagrangiana ${\cal L}$ ) on-shell no tiene asociada una ecuación continua/ley de conservación. $^2$
OP solo está considerando las llamadas transformaciones verticales $\delta\phi$ , es decir $\delta x^{\mu}=0$ , que conlleva ciertas simplificaciones en forma de corriente de Noether.

--

$^1$ Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) (=EOM) se cumplen o no.

$^2$ Aquí hay otro argumento heurístico: ignorando varios supuestos y detalles técnicos, moralmente hablando, existe una correspondencia biyectiva entre las cuasisimetrías fuera del caparazón y las leyes de conservación dentro del caparazón, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. En particular, todas las leyes de conservación en el caparazón ya se explican solo por cuasisimetrías fuera del caparazón. En otras palabras, no hay lugar para que las cuasisimetrías en el caparazón desempeñen un papel independiente en esta correspondencia.

Si la ley de conservación se considera en el caparazón, ¿por qué comenzar con una transformación fuera del caparazón? -- Si para una transformación general, $\delta\mathcal L=\text{EoM}+\partial_\mu j^\mu$ y ahora para una transformación vertical particular, $\delta\mathcal L=\partial_\mu\Lambda^\mu$ , restamos ambos para obtener $\text{EoM}+\partial_\mu(j^\mu-\Lambda^\mu)=0$ . Si asumimos on-shell, esto se convierte en $\partial_\mu(j^\mu-\Lambda^\mu)=0$ y tenemos nuestra ley de conservación.
Entiendo que para una cuasi simetría "en el caparazón", $\Lambda$ en mi comentario anterior debería convertirse $j$ , por lo tanto, la ley de conservación es una ecuación trivial. Sin embargo, usar esta lógica lleva a la conclusión de que también después en mi último paso, $\Lambda\to j$ y la ecuación se vuelve trivial. ¿Qué me estoy perdiendo?
Gracias por tu actualización. Creo que esto junto con otra respuesta ( physics.stackexchange.com/a/438369/127780 ) y este artículo ( arXiv:1510.07038 ) ha resuelto mi confusión.

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Sin cargo por Lagrangiano con derivadas de orden superior

Cómo aplicar el teorema de Noether

La transformación tiene δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0 pero δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 y δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \parcial\Omega} d^3 xf

¿Cuál es el papel de las ecuaciones clásicas de movimiento en la derivación de la corriente de Noether?

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