¿Por qué una teoría de Lorentz es invariante si el Lagrangiano es invariante de Lorentz?

Porque si hubiera empezado intentando hacer invariante el hamiltoniano de Lorentz, habría fracasado. De hecho, el hamiltoniano es parte de un tensor covariante. Pero, ¿cómo sé que el Lagrangiano no es parte de tal tensor?

Toda la formulación lagrangiana, la formulación hamiltoniana y la formulación de paréntesis de Poisson implican alguna derivada parcial con respecto al tiempo en algún punto. Ninguno de ellos es manifiestamente invariante de Lorentz.

Sabíamos que el sistema gobernado por la ecuación de Klein-Gordon es invariante de Lorentz, pero ¿podría construir un Lagrangiano no invariante de Lorentz y derivar una ecuación de movimiento invariante de Lorentz a partir de eso?

La acción se define a partir del lagrangiano, no del hamiltoniano. Entonces, si desea construir un conjunto invariante de ecuaciones, que se generan a partir de la minimización de la acción, el lagrangiano debe ser automáticamente invariante. Esta es también la razón principal de la utilización de lagrangianos en la teoría cuántica de campos en lugar de hamiltonianos como en la mecánica cuántica no relativista.

Respuestas (1)

Seguir el camino indicado en el título de la pregunta es fácil: la condición de Euler-Lagrange es, inherentemente, una condición sobre la acción: la afirmación es que el camino clásico es el camino para el cual la acción toma un valor mínimo para el camino. Dado que esta es una declaración sobre el valor de la acción, y la acción es invariante de Lorentz, entonces este valor mínimo se mantiene sin cambios mediante una transformación de Lorentz. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento tienen que ser covariantes de Lorentz. Nada de esto es automáticamente cierto en un formalismo hamiltoniano, donde explícitamente estás haciendo una transformación de Legendre que involucra el tiempo y arruinando la invariancia manifiesta de Lorentz de la teoría.

La pregunta que hace en su conclusión es más difícil: dada una ecuación de movimiento invariante de Lorentz, ¿es posible construir un Lagrangiano no invariante de Lorentz? La respuesta trivial es "sí, puede agregar términos de límite invariantes que no sean de Lorentz". Pero no sé sobre el caso menos trivial.

Incluso la primera parte no es tan fácil para mí. Una transformación de Lorentz cambia los puntos estacionarios. Sin embargo, en vista de la invariancia de Lorentz del Lagrangiano, la clase de puntos estacionarios es invariante bajo una transformación de Lorentz (pero no cada punto estacionario por separado). Un punto estacionario está completamente determinado por las condiciones de contorno. Estamos diciendo que, como el lagrangiano es invariante de Lorentz, un punto estacionario determinado por ciertas condiciones de contorno se transforma en otro punto estacionario con las correspondientes condiciones de contorno transformadas.
@ValterMoretti: sí, no dije que la ruta fuera la misma, solo que el valor de la acción es necesariamente el mismo, por lo que Lorentz transforma las soluciones de mapas de la EOM en otras soluciones de la EOM.
Pero debería haber dicho que los EOM son lorentz covariantes, no invariantes.
OK, entendí mal tu respuesta, no te preocupes (+1)
@ValterMoretti: mejoraste mi respuesta, independientemente. :)
¿Por qué una teoría de Lorentz es invariante si el Lagrangiano es invariante de Lorentz?
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