¿Invarianza de la acción frente a lagrangiana en el teorema de Noether?

Question

¿Invarianza de la acción frente a lagrangiana en el teorema de Noether?

acción
Física
simetría
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo

SS_1234

Recientemente comencé a estudiar la teoría clásica de campos. El teorema de Noether establece que toda simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente. Pero encuentro que, a menudo, cuando se resuelven las corrientes conservadas, se supone que se deben a la invariancia de Lagrangian, es decir; $\delta L = 0$ . ¿Ambas afirmaciones son siempre iguales?

Blazej

no lo son, pero

δ L = 0

$\delta L=0$ Es un caso especial muy común.

Respuestas (2)

¿Invarianza de la acción frente a lagrangiana en el teorema de Noether?

no lo son, pero $\delta L=0$ Es un caso especial muy común.

giuseppe rossi · Answer 1

No, no son lo mismo. Para ver por qué, incluso en la mecánica clásica, supongamos que tenemos una transformación de simetría $q \rightarrow q + \epsilon K$ eso deja el lagrangiano invariante. Esto significa que debemos tener

\underset{ϵ \to 0}{límite} \frac{1}{ϵ} (L (q + ϵ k, \dot{q} + ϵ \dot{k}, t) - L (q, \dot{q}, t)) = \frac{\partial L}{\partial q} k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{k} = 0

$\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon}\left(L(q+\epsilon K, \dot{q}+\epsilon\dot{K},t) - L(q,\dot{q},t)\right) = \frac{\partial L}{\partial q}K +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K} = 0 \end{equation}$

T h e n

$Then$ usas el hecho de que las ecuaciones de movimiento se satisfacen para escribir

\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L }{\partial \dot{q}}$ y esto implica

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{k} = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} k) = 0

$\begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K\right)=0 \end{equation}$ es decir, la cantidad

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} K

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K$ se conserva

Una simetría de la acción es una transformación que deja la acción invariante, se satisfagan o no las ecuaciones de movimiento. En este caso el mismo procedimiento produce la condición

\frac{\partial L}{\partial q} k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{k} = \frac{d METRO}{d t}

$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial q}K + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K} = \frac{dM}{dt} \end{equation}$ dónde

M

$M$ es una función de

q, \dot{q}, t

$q, \dot{q}, t$ . Si tal M existe, decimos que la acción es invariante bajo la transformación de simetría.

Es muy fácil ver que cuando imponemos las ecuaciones de movimiento LHS se convierte en $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K\right)$ y podemos derivar una cantidad conservada:

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} k - METRO) = 0.

$\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K - M\right)=0. \end{equation}$

El ejemplo más simple posible de una transformación de simetría que es una simetría de la acción pero no del Lagrangiano es la traducción del tiempo en sistemas donde el Lagrangiano no tiene una dependencia temporal explícita. Cuando cambiamos el tiempo por un pequeño arbitrario $\epsilon$ , las coordenadas generalizadas $q$ cambiar de acuerdo a $q(t) \rightarrow q(t) + \epsilon \dot{q}(t)$ , por lo tanto $K=\dot{q}$ . Pero

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q}) = \frac{\partial L}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \ddot{q} = \frac{d L}{d t} \neq 0

$\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}\right)=\frac{\partial L }{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\ddot{q}=\frac{dL}{dt}\neq 0 \end{equation}$ En este caso

M = L

$M =L$ y la cantidad conservada es

H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L .

$\begin{equation} H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L. \end{equation}$

Puede que llegue un poco tarde a la fiesta, pero ¿cuál es la función K que describe aquí? ¿Es una función de q(t) y t?
Además, supongo que M debería ser una función de $q$ y $t$ , y no $q$ , $\dot{q}$ y $t$ porque una vez que incluye velocidades también, entonces tendría que agregar una restricción adicional de que la velocidad a lo largo de la ruta se desvanece en los puntos finales.
Como se muestra en el caso de la invariancia de la traducción del tiempo, $K$ puede ser una función de $\dot{q}$ también.
En el mismo ejemplo, $M$ es el lagrangiano que es una función de $\dot{q}$ .El Lagrangiano es una función de $q$ y $\dot{q}$ tratadas como variables independientes. El hecho de que en el formalismo lagrangiano se derivan los ecuaciones de los movimientos variando la acción manteniendo las coordenadas fijas en los puntos finales (sin requerir que las velocidades desaparezcan) es otra historia. Significa que para las trayectorias que satisfacen las ecuaciones de los movimientos en función del tiempo, $q(t)$ y $\dot{q}(t)$ no son independientes. Consulte tinyurl.com/yxfpqfg7 . De hecho, nunca supuse que las velocidades se desvanecieran en los puntos finales.

qmecanico · Answer 2

En primer lugar, la noción de simetría estricta debe relajarse en una noción de cuasisimetría para que sea lo más general posible. Ambas versiones del teorema de Noether siguen siendo verdaderas, pero la versión de acción es más general.

Diferentes autores utilizan diferentes terminologías. A menudo es útil usar la palabra cuasisimetría para enfatizar la noción más general.

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La transformación tiene δL=0δL=0\delta \mathcal{L}=0 pero δS≠0δS≠0\delta S \neq 0 y δS≠ϵ∫∂Ωd3xfδS≠ϵ∫∂Ωd3xf\delta S \neq \epsilon \int_{ \parcial\Omega} d^3 xf

¿Qué significa que una acción sea invariante bajo x→x′x→x′x \to x', ϕ→ϕ′ϕ→ϕ′\phi \to \phi'?