Intuición para la simetría de intercambio del tensor de Riemann

Question

Intuición para la simetría de intercambio del tensor de Riemann

ravi charan

¿Existe una imagen intuitiva/geométrica para la simetría de intercambio del tensor de Riemann? He visto muchas derivaciones algebraicas, pero me gustaría entender si la simetría expresa algo intuitivo u obvio (al menos en retrospectiva).

Esto es lo que he resuelto hasta ahora (¡avíseme si me equivoqué!)

No sé si esta notación es estándar (no puedo hacer un seguimiento de la variedad de convenciones), así que me disculpo si no está bien. Trabaje con una conexión métrica libre de torsión, a saber, la conexión Levi-Civita.

Defina el tensor de curvatura de Reimann como la matriz de rotación infinitesimal resultante del transporte paralelo de un vector $Z$ alrededor de un bucle en forma de paralelogramo definido por $X$ y $Y$ .

R (X, Y) Z = R_{m v λ}^{σ} X^{m} Y^{v} Z^{λ}

$R(X,Y)Z = R_{\mu\nu\lambda}^\sigma X^\mu Y^\nu Z^\lambda$ (1) Antisimetría en los dos primeros índices. Invertir la dirección del bucle produce el efecto opuesto. Por lo tanto

(R_{μ ν})_{λ}^{σ} = - (R_{ν μ})_{λ}^{σ}

$(R_{\mu\nu})^\sigma_\lambda = -(R_{\nu\mu})^\sigma_\lambda$ . (Estos paréntesis hacen explícita la matriz). En otras palabras

R (X, Y) = - R (Y, X)

$R(X,Y) = - R(Y,X)$ .

R_{m v λ}^{σ} = - R_{v m λ}^{σ}

$R_{\mu\nu\lambda}^\sigma = -R_{\nu\mu\lambda}^\sigma$

(2) Antisimetría en los dos segundos índices. Una matriz de rotación infinitesimal (como una transformada de Lorentz) es antisimétrica cuando se reducen sus índices. Poniendo el índice superior en la última posición,

{gramo}_{σ τ} R_{m v λ}^{τ} = R_{m v λ σ} = - R_{v m σ λ}

$g_{\sigma\tau} R^\tau_{\mu\nu\lambda} = R_{\mu\nu\lambda\sigma} = -R_{\nu\mu\sigma\lambda}$

(3) Primera identidad de Bianchi (a través de esta pregunta en Math Stack Exchange). El hecho de que la unión sea sin torsión obliga a cerrar las caras laterales de un cubo. La identidad de Bianchi expresa que forman un triángulo.

R_{[m v λ]}^{σ} = 0

$R_{[\mu\nu\lambda]}^\sigma = 0$

(4) Simetría de intercambio. De estas tres propiedades, podemos derivar la simetría de intercambio. Por ejemplo en estas notas . También puede obtenerlo, lo he visto, expandiendo la conexión Levi-Civita en términos de la métrica.

¡Estoy buscando algo más que malabares de índice puros! Por ejemplo, algún tipo de imagen similar a la de la respuesta principal en esa publicación de Math Stack Exchange.

(5) Bonus: Después de esto voy a llegar a la identidad de Second Bianchi, me imagino. ¿Hay alguna buena intuición para eso? Wikipedia lo da de la siguiente manera, aunque estoy dispuesto a apostar que los índices están en un orden diferente al que los puse.

R_{a b [C d; mi]}^{} = R_{a b C d; mi}^{} + R_{a b d mi; C}^{} + R_{a b mi C; d}^{} = 0

$R_{ab[cd;e]}^{}= R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0$

Respuestas (2)

Intuición para la simetría de intercambio del tensor de Riemann

jamals · Answer 1

Puedo dilucidar una perspectiva diferente sobre el tensor de Riemann. Es útil escribirlo no como $R^\sigma_{\mu\nu\lambda}$ sino más bien como $R^i_{j\mu\nu}$ Para empezar, para distinguir los dos tipos de índices, a pesar de que se encuentran en el mismo rango.

Esto se debe a que si consideramos el paquete de marcos que de hecho es un $GL(d,\mathbb R)$ paquete principal, la forma de conexión uno (retirada por una sección) pertenece a $\Omega^1(M) \otimes T_eG$ , es decir, es una forma valorada en álgebra de Lie.

El álgebra de Lie tiene valor matricial, por lo que cuando tomamos la curvatura, que es un álgebra de Lie valorada en dos formas, tenemos dos índices $ij$ por esto, y otros dos $\mu\nu$ índices ya que es una forma de dos en el espacio base.

Como tal, claramente debe ser antisimétrica en el $\mu\nu$ índices, por lo que sabemos acerca de las formas. Pero ¿por qué también antisimétrico en $ij$ ? Recordemos que con la existencia de una métrica podemos restringir a marcos ortogonales, y luego $ij$ son antisimétricas precisamente por las matrices antisimétricas que representan el álgebra de Lie del grupo ortogonal.

usuario76568 · Answer 2

Naturalmente, las identidades no significarán mucho a menos que seas del tipo de Riemann o comiences a comprender dónde tiene sentido; puesto en contextos de, digamos, espacio-tiempo en GR, y más restringido a actuar solo sobre vectores con significado físico. Por ejemplo, comience con la descomposición de Bel. Luego rastrearlo hasta simplemente el malabarismo del índice.

Otro primer movimiento obvio es la ecuación $R_{uv}=0$ sosteniendo en el espacio vacío.

Otro es el tensor de Einstein igual al tensor de energía de estrés, que es la única forma de poner el principio de covarianza general en una ecuación.

Para el contexto: ¿qué tal la geometría regular de Riemann en 2, 3 o 4 dimensiones (sin dimensiones de tiempo)? Las visualizaciones que vinculé para sostener en este contexto.
Más allá de los conceptos básicos de las propiedades métricas de conexión, personalmente me resultó difícil visualizar mentalmente las diversas cantidades de tensor de curvatura/escalares en el caso de 4 dimensiones (que resultan ser todas proporcionadas por el procedimiento de Riemann). La forma de gravitación y las curvas reales de los tipos de curvaturas son " $2/3$ " de la física y, por lo tanto, lo más esencial. No por capacidades mentales espaciales, sino por fenómenos físicos. Por lo general, necesita las herramientas proporcionadas en los enlaces cuando identifica simetrías/isometrías y el objetivo es encontrar la métrica en primer lugar.

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ravi charan

Respuestas (2)

jamals

usuario76568

ravi charan

usuario76568

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