¿Por dónde empiezo con la geometría no euclidiana?

He estado tratando de asimilar la relatividad general por un tiempo y he tenido algunos problemas. Muchos libros de texto de física pasan por alto el tema con un "es demasiado avanzado para este medio", y muchos otros recursos comienzan con algo como "bueno, el espacio es solo una variedad no euclidiana con un tensor de Ricci definido de la siguiente manera:", que sería genial si entendí variedades no euclidianas o tensores de Ricci.

Desafortunadamente, cuando trato de abrir artículos de Wikipedia sobre artículos no euclidianos sobre el tensor de Ricci, tengo problemas para entender todos los términos extranjeros.

¿Es la geometría no euclidiana un buen lugar para comenzar si quiero comprender la relatividad general? ¿Cuál es un buen recurso introductorio para la geometría no euclidiana para alguien que solo ha tratado con euclidiana?

(Nota: entiendo los principios básicos de la relatividad general, es decir, cómo la aceleración y la gravedad son perspectivas diferentes sobre lo mismo y cómo los relojes se mueven más lentamente cuando están más altos en un campo de gravedad, pero quiero entender las matemáticas y cómo se derivaron).

Yo personalmente recomiendo books.google.com/books/about/…

Respuestas (3)

Yo no empezaría por aprender matemáticas. Los matemáticos adoptan un enfoque muy diferente al de los físicos y dudo que ayude mucho.

Sólo necesitas el libro de texto adecuado. Recomiendo encarecidamente " Un primer curso de relatividad general " de Bernard F. Schutz. Me parece que esto logra el equilibrio adecuado entre comprender la física y comprender las matemáticas. Sin embargo, tenga en cuenta que incluso un "primer curso" es un trabajo bastante duro: para completar el libro requerirá mucho sudor, y hablo por experiencia :-)

Leí este libro, es realmente bueno +1, el autor conoce el material y transmite el punto sin que se requiera experiencia previa en física, más allá de las conferencias Feynman. El único inconveniente es que no muestra cómo calcular la curvatura, que es el principal problema de cálculo en GR. Puede ver esta respuesta sobre cómo hacerlo: physics.stackexchange.com/questions/14136/… .

Realmente depende de su experiencia en matemáticas, qué referencias son apropiadas. En mi opinión, necesita al menos una comprensión sólida de álgebra lineal y cálculo vectorial, como asumirán la mayoría de los libros sobre relatividad general.

Un libro muy bonito, aunque bastante largo, sobre relatividad general es "Gravitation" de Misner, Thorne y Wheeler. Es muy pedagógico y tiene descripciones intuitivas de todos los conceptos geométricos que necesitas entender. En este sentido es mejor que muchos libros sobre geometría diferencial. El único inconveniente es que un desarrollo adecuado de esos fundamentos lleva mucho tiempo y toma bastantes desvíos, por lo que probablemente no sea adecuado para alguien que está impaciente por aprender sobre la relatividad general.

Por otro lado, los libros menos completos generalmente reducen la parte matemática a recetas de cocina y te dan poca o ninguna idea de por qué realmente funcionan. Si no ha tenido una educación formal en matemáticas a nivel universitario, sospecho que será difícil entender la relatividad general más allá de un nivel superficial. Como regla general, no suele ser una buena idea apresurarse a temas como la relatividad general de inmediato. Hace que comprenderlos sea innecesariamente difícil, en comparación con un enfoque en el que uno trata de comprender primero los fundamentos.

Un estudiante de secundaria puede aprender GR de Schutz, sus primeros principios. Misner Thorne and Wheeler, a pesar del pedigrí, es demasiado hablador para ser útil.
Depende de por qué quieres aprender relatividad general. Su libro contiene muchas ideas que no encontrará en ningún otro libro. Probablemente sería útil leerlo al mismo tiempo que una lección o notas de la lección. Para tener una idea de cuáles son los elementos esenciales.
No estoy de acuerdo con que un estudiante de secundaria pueda entender GR de una manera profunda. Seguro que puede comprender los cálculos para la métrica de schwarzschild y ejemplos concretos similares, después de haber aprendido cómo se calculan los símbolos de Christoffel y cómo se determinan las geodésicas. Pero ser capaz de realizar cálculos está muy lejos de comprender realmente lo que significan.
Ya "sé" GR (puedo aplicar las fórmulas y comprender los resultados), pero quiero entender cómo funcionan y por qué. Tengo una formación matemática bastante sólida, por lo que puedo mover los números y obtener las respuestas correctas, pero todavía no tengo una intuición de dónde provienen las ecuaciones en primer lugar, o qué "significan" realmente. Parece que "Gravitación" podría ser un buen libro para mí.
@orbifold: Traté de recorrer MTW y es demasiado largo , ¿cómo puedes tener 1200 páginas? ¿Estás escribiendo la biblia? GR es un tema pequeño y está bien atendido por un libro pequeño. No hay 1200 páginas de contenido único allí. Aprendí GR durante las vacaciones de verano entre el tercer y cuarto año de Schutz y Dirac. No es difícil para un sujeto de investigación aún activo en física, porque a diferencia de la teoría cuántica de campos, la renormalización o la teoría de cuerdas, GR está bien explicado en los libros de texto. Schutz proporciona una intuición física muy buena, tan buena como cualquier presentación, o mejor.
Supongo que muchos de nosotros tenemos tanto el libro de Schutz como Gravitation. El libro de Schutz es mucho más fácil de aprender, pero Gravitation es una referencia invaluable. Por ejemplo, alguien preguntó recientemente sobre el movimiento acelerado en la relatividad especial, y me tomó 30 segundos encontrar la referencia en Gravitación, mientras que Schutz describe esto solo de manera periférica.
@RonMaimon: Estoy de acuerdo con usted en que, a diferencia de QFT y la teoría de cuerdas, los hechos fundamentales sobre la relatividad general se explican bien en algunos libros de texto, pero eso no significa que no queden preguntas difíciles. Para dar solo un ejemplo: aunque uno conoce soluciones especiales a las ecuaciones de Einstein, no hay teoremas generales de existencia. Incluso las estimaciones a priori son extremadamente difíciles.
@orbifold: Eso es más matemática que física, aunque estoy seguro de que hay matemáticas interesantes allí, es probable que los problemas no brinden una perspectiva física, más allá de la conjetura de la censura. El problema físico se resuelve esencialmente implementando los métodos modernos de la relatividad numérica, que dan un "teorema de existencia" para los científicos prácticos.

Recomendé estudiar geometría no euclidiana del libro "Geometría no euclidiana" de Stefan Kulczycky (Traducido del polaco) - Pergamon Press Haim Reouven-Israel

De acuerdo con nuestra política de recomendación de recursos, ¿podría esbozar de qué temas trata el libro y por qué lo encuentra particularmente adecuado? ¡Gracias!
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