Demostrando la curvatura constante

Question

Demostrando la curvatura constante

jonathan gafar

Actualmente estoy en la sección 5.1 del libro de Wald. Está tratando de probar que el principio cosmológico implica que el espacio tiene una curvatura constante.

Dada una hipersuperficie espacial $\Sigma_t$ por un tiempo fijo $t$ , decimos que es homogénea si se da $p,q \in \Sigma_t$ , hay una isometría, $\phi$ , de la métrica $g$ tal que $\phi(p) = q$ .

Ahora en un punto dado $p \in \Sigma_t$ , $g$ induce una métrica de Riemann $h$ en $\Sigma_t$ simplemente restringiendo $g$ a vectores tangentes similares al espacio. El tensor de curvatura de Riemann $R_{ab}{}^{cd}$ (usando $h$ para elevar el tercer índice) se puede ver como un mapa lineal de $\mathcal{A}^2(T_p \Sigma_t)$ en $\mathcal{A}^2(T_p \Sigma_t)$ (el espacio vectorial de antisimétrico $2$ -tensores definidos en el espacio tangente a $\Sigma_t$ en $p$ ). Dejar $L$ denote este mapa lineal. Visto como un mapa lineal, $L$ es simétrica, o equivalentemente, autoadjunta. De este modo $T_p \Sigma_t$ tiene una base ortonormal de vectores propios de $L$ . Si los valores propios fueran distintos, entonces podríamos construir un vector tangente preferido, violando la isotropía. Por lo tanto, todos los valores propios son iguales y $L = KI$ por alguna constante $K$ y donde $I$ es el operador de identidad. Otra forma de escribir esto es $R_{ab}{}^{cd} = K\delta^c{}_{[a} \delta^d{}_{b]}$ donde los corchetes denotan antisimetrización (recuerde que el tensor de Riemann es antisimétrico en sus dos primeros índices, por eso tenemos los corchetes antisimétricos allí). La reducción de los dos últimos índices da $R_{abcd} = K h_{c[a}{}h_{b]d}$ .

Ahora aquí está la parte que me está molestando. Wald dice que la homogeneidad implica que $K$ debe ser constante, es decir, no puede variar de un punto a otro de $\Sigma_t$ . Entiendo que se supone que la homogeneidad significa que todo es igual en cada punto, pero estamos tratando de probar esto matemáticamente y tenemos una definición matemática de homogeneidad. No veo cómo nuestra definición matemática de homogeneidad muestra que $K$ es constante de un punto a otro.

ryan unger

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ryan unger · Answer 1

Creo que se supone que simplemente debes argumentar que, dado que la métrica es "constante" en el sentido de la ecuación. (C.2.3) en $\Sigma_t$ , la curvatura también debe ser una constante.

Sin embargo, aquí hay un punto de vista más sofisticado. Nuestra definición de homogeneidad es que el grupo de isometría $\mathrm{Iso}(\Sigma_t,h)$ es transitiva, es decir dada $p,q\in\Sigma_t$ existe $\phi\in\mathrm{Iso}(\Sigma_t,h)$ tal que $\phi(p)=q$ . Un teorema muy importante de la geometría de Riemann que nunca aparece en los libros de GR (o incluso en los libros de geometría de Riemann) es este $^1$ :

Dejar $\phi:(M,g)\to (\tilde M,\tilde g)$ ser una isometría. Entonces $\phi^*\mathrm{Riem}[\tilde g]=\mathrm{Riem}[g]$ , dónde $\mathrm{Riem}[-]$ es el $(0,4)$ Tensor de Riemann de las respectivas métricas.

Ahora si $\tilde M=M$ , entonces realmente $g$ y $\tilde g$ son la misma métrica. Así, el retroceso del tensor de Riemann en $q$ es el tensor de Riemann en $p$ . Contratar la ecuación de Wald ${}^{(3)}R_{ab}{}^{cd}=K\delta^c{}_{[a}\delta^d{}_{b]}$ Llegar ${}^{(3)}R=3K$ dónde ${}^{(3)}R$ es la curvatura escalar inducida. $^2$ Además, contrate el teorema anterior para obtener $\phi^*R=R$ , Lo que significa que ${}^{(3)}R(\phi(p))={}^{(3)}R(q)={}^{(3)}R(p)$ para cualquier $p,q\in\Sigma_t$ . De este modo ${}^{(3)}R$ es constante y por lo tanto $K$ es también

Cabe señalar que la definición de isotropía de Wald es lo suficientemente poderosa como para que la homogeneidad sea innecesaria. De hecho, Wald prueba esto a la mitad de la página 94. Sin embargo, el lector familiarizado con la geometría de Riemann reconocerá esto como un caso especial del Lema de Schur . Creo que Straumann fue el primero en hacer esta observación en Straumann, N. Helva. física Acta. 47 , 379 (1972).

Es un ejercicio en JM Lee, Introducción a las variedades de Riemann (1997) en la página 119 y un ejercicio en RK Sachs y H. Wu, General Relativity for Mathematicians (1977) en la página 19, pero vea esta publicación mía en mi blog para encontrar la solución.
Porque me confundió por un segundo, aquí está la contracción de $\delta^c{}_{[a}\delta^d{}_{b]}$ :
$d^{a}_{[a} d^{b}_{b]} = \frac{1}{2} (d^{a}_{a} d^{b}_{b} - d^{a}_{b} d^{b}_{a}) = \frac{1}{2} (3 \cdot 3 - d^{a}_{a}) = \frac{1}{2} (3^{2} - 3) = 3.$ $\delta^a{}_{[a}\delta^b{}_{b]}=\frac{1}{2}(\delta^a{}_a\delta^b{}_b-\delta^a{}_b\delta^b{}_a)=\frac{1}{2}(3\cdot 3-\delta^a{}_a)=\frac{1}{2}(3^2-3)=3.$

Erik Jorgenfelt · Answer 2

La curvatura en relatividad general está determinada completamente por la métrica (ya que la métrica determina la conexión Levi-Civita). Dado que la métrica es constante en el espacio homogéneo, también debe serlo la curvatura.

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jonathan gafar

ryan unger

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ryan unger

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