¿Introducción a la teoría de anillos?

Otro libro notable es Álgebra conmutativa de pregrado de Miles Reid .
Es bastante elemental (como indica el título) y muy breve: 153 páginas.
Está escrito por un geómetra algebraico de renombre para los geómetras algebraicos en ciernes.
Está repleto de imágenes que muestran cómo interpretar nociones geométricamente algebraicas: solo mira el frontispicio del libro, que puedes ver en el enlace que di arriba.
Ese frontispicio es una imagen muy realista de un módulo.$M$acostado sobre su anillo base$R$, ilustrando de manera asombrosamente visual los puntos máximos del apoyo de$M$, los tallos de$M$, el punto genérico de$R$, etc.
Ya en el Capítulo 0 (llamado "¡Hola!": el autor tiene un estilo muy simpático y divertido) encontrarás fotos de la cúspide cúspide y de$\operatorname {Spec} \mathbb Z[\sqrt -3]$, insinuando la asombrosa síntesis entre geometría y aritmética permitida por la teoría de esquemas.

En pocas palabras, ese libro muy elemental aborda exactamente el deseo del OP de aprender la teoría del anillo "con miras a la geometría algebraica".

Editar
Dado que también he recomendado el libro de Atiyah-Macdonald, ¿cómo se comparan ambos libros?
Aquí está el punto de vista de Miles Reid (página 12):
"El libro [de Reid] cubre aproximadamente el mismo material que Atiyah y Macdonald, capítulos 1-8, pero es más barato, tiene más imágenes y es considerablemente más opinable.

Atiyah-Macdonald ha sido la mejor introducción al álgebra conmutativa desde el momento en que se publicó en 1969.
De hecho, creo que es uno de los libros de texto más extraordinarios jamás publicados sobre matemáticas.
Tiene exactamente 128 páginas, por lo que también es uno de los libros de matemáticas más delgados del mercado, pero contiene una cantidad de material alucinante.
Comienza con la definición de un anillo (!) en la página 1, pero ya en los ejercicios del Capítulo 1 encontrará una introducción independiente a la geometría algebraica afín, tanto clásica como teórica de esquemas (y aparte, recuerde que los esquemas eran muy nuevos en 1969).
El libro continúa tranquilamente hasta el capítulo 11, el último, donde se dan diferentes definiciones de dimensión pero se demuestra que son equivalentes.
También aprenderá en ese capítulo sobre las funciones de Hilbert y los anillos locales regulares, dos nociones que juegan un papel importante en la geometría algebraica.
Ni siquiera intentaré resumir los otros capítulos: baste decir que se cubren todas las nociones básicas del álgebra conmutativa: el Nullstellensatz, por ejemplo, se demuestra (o se da como un ejercicio con sugerencias) varias veces.
Y la característica más notable del libro es que cada proposición se demuestra, nítida pero completamente, sin hacer trampa ni recurrir a atajos hipócritas como "es fácil de ver..." o "se deja como ejercicio..."

Hay otros buenos libros sobre álgebra conmutativa: Bourbaki, EGA, Eisenbud, Patil-Storch, Zariski-Samuel, ... pero probablemente sean demasiado avanzados para un principiante, a quien podrían desalentar en lugar de ayudar.
Te aconsejo que los uses como libros de referencia una vez que hayas estudiado una parte razonable de Atiyah-Macdonald.
¡Buena suerte!

Para álgebra general, mi favorito es Abstract Algebra de Dummit and Foote. Es muy accesible para principiantes pero cubre una gran cantidad de material.

Después de familiarizarse con el álgebra abstracta general y desea pasar al álgebra conmutativa con el objetivo de aprender geometría algebraica (lo cual asumiría por sus etiquetas), entonces recomendaría Álgebra conmutativa: con una vista hacia la geometría algebraica .

Ambos son libros en los que realmente necesita realizar algunos de los ejercicios al leer, pero si lo hace, obtendrá mucho de ellos.

El libro Teoría de los anillos de Kaplansky es genial.

Recomiendo el libro de PM Cohn: Introducción a la teoría del anillo. Tiene la ventaja de ser claro y conciso (poco más de 200 páginas).

Esta pregunta es vieja, pero me imagino que también podría lanzar mi sombrero al ruedo (juego de palabras posiblemente intencional).

Los usuarios en su situación deberían leer los capítulos correspondientes de Dummit and Foote y hacer los ejercicios, pero este no es mi consejo relevante. El consejo relevante es obtener un libro con su intención literalmente en el título: el libro Álgebra conmutativa con una visión hacia la geometría algebraica de Eisenbud. El libro es relativamente sencillo, los problemas son en su mayoría rutinarios y bien motivados. Es menos denso que libros como Atiyah/MacDonald y otros textos similares.

Abstract Algebra de Dan Saracino es una buena manera de familiarizarse con los primeros conceptos de la teoría de anillos.

Las notas de la conferencia de JS Milne: Una cartilla de álgebra conmutativa .