Anillo local en punto genérico.

Esta es una pregunta de principiante. No entiendo la descripción después de definir el divisor de Weil en el Capítulo 2 del libro de Hartshorne 'Geometría algebraica'.

Dejar X sea ​​un esquema noetheriano, integral, separado, regular en codimensión uno. Dejar Y ser el primer divisor de X y η ser el punto genérico de Y .

Está escrito que el anillo local O η , X en η se convierte en un DVR con el campo de función k de X como el campo de las fracciones.

Sin embargo, en Ej.3.6 (lo siento si el número del problema es diferente porque es la versión japonesa), está escrito que el anillo local en el punto genérico del esquema integral se convierte en el campo de función de X .

Si sigo esto, O η , X se convierte en un campo, y no creo que se convierta en el DVR.

¿Qué estoy haciendo mal?

Un ejemplo sencillo a tener en cuenta es este. Suponer A es un UFD y F ∈ A un irreducible por lo tanto primo. Entonces la variedad cortada por F tiene codimensión 1 y secciones globales A / F que es un dominio. El anillo local de V ( F ) en Especificaciones ⁡ ( A ) es un DVR. Corresponde a la localización de A en ( F ) es decir A ( F ) . Este es un DVR.
Gracias por el ejemplo fácil de entender. Parece que necesito volver a estudiar la definición compleja.

Respuestas (1)

El ejercicio 3.6 dice que si X es un esquema integral y η es el punto genérico de X , entonces O η , X es el campo de funciones de X . Sin embargo, en el contexto sobre el que está preguntando, η no es el punto genérico de X sí mismo, sino del subesquema Y . Entonces, el Ejercicio 3.6 no te dice nada sobre O η , X (en su lugar, le hablaría de O η , Y ).

Gracias. Entiendo. Para el subconjunto afín abierto tu , O X | tu = O tu sostiene Creo que mi error fue pensar que O X | Y = O Y sostiene de la misma manera.
@Kazsugi esa última fórmula es realmente correcta. La restricción a una subvariedad (de cualquier tipo) es simplemente un retroceso a lo largo de la inclusión. F : Y → X , pero la fórmula F ∗ O X ≅ O Y se cumple básicamente para cualquier morfismo que se te ocurra (en la medida en que no conozco un contraejemplo, incluso en los casos más patológicos).
@TabesBridges la fórmula F ∗ O X ≅ O Y se mantiene por definición de retroceso para cualquier morfismo de espacios anillados: F ∗ ( − ) = F − 1 ( − ) ⊗ F − 1 O X O Y . (Por separado, en general/para cualquier futuro lector, de vez en cuando se encontrará con un contexto en el que el | Y tipo de restricción significa la imagen inversa en lugar del retroceso a lo largo de la inclusión y vale la pena tener en cuenta su notación).
@KReiser bien, bien, bien...
Anillo local en punto genérico.
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