Universos de Grothendieck y sus conexiones con la teoría de conjuntos y la geometría

Para simplificar, trabajemos en ZFC y combinemos "universo" con "universo Grothendieck".

Recuerda que un universo es un conjunto transitivo$U$que contiene$\omega$que se cierra bajo powersets, emparejamiento y "uniones funcionales" (si$f:x\rightarrow U$para$x\in U$, entonces$\bigcup_{i\in x}f(i)\in U$).

Es fácil mostrar lo siguiente:

$U$es un universo iff$U=V_\kappa$para algunos fuertemente inaccesible$\kappa$.

La prueba se puede encontrar aquí , pero la incluiré para que esté completa. Mostrando que$V_\kappa$es un universo siempre$\kappa$es fuertemente inaccesible es trivial. En la otra dirección, suponiendo$U$es un universo basta con mostrar que si$\alpha=height(U)$es el menos ordinal no en$U$, entonces$\alpha$es un cardinal límite fuerte regular incontable (ya que entonces podemos demostrar por inducción que$V_\beta\subseteq U$para todos$\beta<\alpha$, y esto obliga$U=V_\alpha$.

• Claramente$\alpha$es un ordinal límite: si$\alpha=\beta+1$y$\beta\in U$, entonces$\{\beta\}\in U$por emparejamiento ($\{\beta,\beta\}=\{\beta\}$); ahora$\{0, 1\}\in U$, entonces - mapeo$0$a$\beta$y$1$a$\{\beta\}$- obtenemos$\beta\cup\{\beta\}=\alpha\in U$por uniones funcionales.

• Desde$\alpha$Es un límite, la cofinalidad tiene sentido, así que hablemos de eso. Si$cf(\alpha)<\alpha$, entonces tendríamos$cf(\alpha)\in U$por definición de$\alpha$. Entonces tenemos un mapa cofinal$f: cf(\alpha)\rightarrow \alpha$, entonces$ran(f)\in U$. Pero ahora$\bigcup_{\beta<cf(\alpha)}f(\alpha)=\alpha\in U$. Entonces$\alpha$es regular - tenga en cuenta que esto significa$\alpha$es un cardenal.

• Desde$\alpha$es habitual y$\omega\in U$,$\alpha$debe ser incontable. Y desde$U$está cerrado bajo powersets,$\alpha$es un límite fuerte: dado$\beta<\alpha$y arreglando alguna biyección$f:2^\beta\rightarrow\vert 2^\beta\vert$(estamos distinguiendo aquí entre el conjunto$2^\beta$, que no es ordinal, y su cardinalidad, que lo es), por uniones funcionales tenemos$\vert 2^\beta\vert\in U$por lo tanto es$<\alpha$. Entonces$\alpha$es fuertemente inaccesible .

Esto aborda completamente los problemas de la teoría de conjuntos, reduciéndolos al estudio de la inaccesibilidad fuerte (p. ej., "cada conjunto está contenido en un universo" = "hay una clase adecuada de cardinales fuertemente inaccesibles", etc.).

Nótese, y esto es crucial, el uso de hechos externos en la definición de un universo. No exigimos la propiedad "interna" que$\mathcal{P}(x)\cap U$ser un elemento de$U$, para$x\in U$; en cambio, exigimos que el verdadero poder de$x$estar en$U$, y de manera similar para las uniones funcionales. Esta es la clave que impulsa la fuerza del principio. Por ejemplo, meramente satisfactorio$V_\kappa\models$ZFC es la propiedad de la "mundanalidad", que es mucho más débil que la inaccesibilidad fuerte (por ejemplo, los ordinales mundanos ni siquiera necesitan ser regulares).

En cuanto a la segunda mitad de su pregunta, esto sale de mi zona de confort, pero estoy familiarizado con la imagen básica (que espero que alguien desarrolle más):

• Grothendieck introdujo universos para manejar "problemas de tamaño": por ejemplo, mientras que la categoría de grupos es una categoría grande (= clase apropiada de objetos), la categoría de$U$-grupos para un universo$U$es una categoría pequeña. Ahora, normalmente, "cortar" la categoría de grupos en algún nivel arbitrario podría perder alguna estructura interesante, pero la definición del universo de Grothendieck está diseñada para evitar esto: en términos generales, cualquier fenómeno que sucede en la categoría de grupos ya sucede en la categoría de$U$-grupos siempre$U$es un universo Más específicamente, los universos se introducen para hacer, por ejemplo, definiciones de teorías de cohomología que pasan por cosas como categorías de funtores rigurosas sin necesidad de ir más allá de los conjuntos.

• Dicho esto , mi impresión es que generalmente se acepta que todos los resultados, excepto los más extremadamente abstractos, que pueden probarse a través de universos, también pueden probarse sin ellos. Por ejemplo, entiendo que Stacks Project desarrolla todo en ZFC, incluidas cosas complicadas como la cohomología etale que a menudo se exponen (o definen ingenuamente ) usando universos, sin dificultad significativa. De manera más general, existe una similitud con cosas como el truco de Scott (ver, por ejemplo, esta pregunta de MSE ) y esta es una evidencia entre muchas de que los universos rara vez son necesarios, simplemente eficientes.

Otros que son realmente expertos en geometría algebraica y teoría de categorías deberían decir más sobre esto ; Si bien estoy algo calificado para hablar sobre teoría de conjuntos, no estoy calificado para hablar sobre geometría algebraica. Pero lo que he dicho anteriormente refleja lo que me han dicho varias personas que están tan calificadas, así que me quedaré con eso hasta que escuche lo contrario.

• Grothendieck seguramente estaba al tanto de esto, entonces, ¿por qué introducir universos? Sospecho que, en última instancia, la razón era pragmática: los problemas de teoría de conjuntos no eran en los que él quería centrarse (y los cardenales fuertemente inaccesibles en particular son bastante inofensivos); Creo que le importaba más obtener resultados generales que usar sistemas de axiomas débiles (y Brian Conrad analiza esto un poco aquí ). En particular, no tengo conocimiento de ningún trabajo de Grothendieck que indique "preocupaciones de coherencia". EDITAR: Citaré un comentario del usuario BCnrd , relacionado con este punto:

si uno quiere escribir un tratado sobre una teoría general de cohomología en todos los topoi, incluidas operaciones como sheafification, suficientes inyectivas, categorías derivadas y Ext-gavillas, debe haber una forma de controlar el "tamaño" de las cubiertas que surgen en estas construcciones (para reemplazar el papel implícito de "conjunto de potencia" para espacios de topología ordinarios). El material del universo se ocupa de estos asuntos de una manera elegante, por lo que uno puede centrar la atención en los aspectos más centrales de la teoría.

Vale la pena en este punto mirar algo como el artículo de McLarty sobre el papel de los universos en el último teorema de Fermat , cuidadosamente . McLarty argumenta que los universos se "usan" en FLT, por un significado muy específico de la palabra "uso" (que ha sido criticado en otro lugar). En última instancia, el artículo de McLarty es en gran medida sociológico: se trata, en palabras de McLarty, de la organización de "alto nivel" de los conceptos matemáticos en su despliegue actual.