Interpretación física de números complejos [duplicado]

Los números complejos se utilizan ampliamente en la mecánica cuántica y la forma de onda, ¿existe una interpretación física de lo que esto significa sobre la estructura del universo? ¿Por qué no se usa en macrofísica?

¿Los físicos realmente creen que llamar a números imaginarios una rotación de 90 grados es una respuesta suficientemente buena? Parece ser utilizado en muchas áreas para significar cosas similares.

¿Hay alguna explicación que tenga que ver con las dimensiones, ya que he intentado en esta conversación una mejor manera de entenderlas?

Creo que debería reformular su pregunta como: "¿cuál es la interpretación física de las amplitudes de probabilidad?". Y la respuesta honesta a eso sería: "no lo sabemos".
Se utilizan para "macrofísica" (dependiendo de lo que signifique este término), como para trabajar con voltaje de CA en sistemas eléctricos.
Esto es probablemente mejor preguntado en matemáticas. Los físicos son conocidos por tener un "¡cállate y calcula!" Punto de vista...
@Stian Yttervik: creo que la razón de esto es que MUCHAS personas (no el OP en esta pregunta), tanto en línea como en la vida real, se acercan a la física con algunas cosas realmente extrañas e irreales: "¿Qué pasa si las partículas se mantienen unidas por flujos de función de onda? energía" fue una de las preguntas que me hicieron una vez. La mejor manera de tratar con esas personas es no decirles que lo que están diciendo no tiene sentido (te contestarán). Pero decir "Claro, genial teoría. ¿Puedes predecir o calcular algo para mí con ella?". Esto les resalta de inmediato que su "teoría" no califica como ciencia, ya que "ni siquiera está equivocada".
@Dast Sí, estoy de acuerdo, y algunas de las cosas que aprendes en física son imposibles de aprender hasta que estés familiarizado con las ecuaciones y la única forma de llegar allí es... callarte y calcular. Se refuerza a sí mismo. Ciertamente, si eres capaz de tener esa familiaridad con las ecuaciones y al mismo tiempo tener un modelo mental del universo que te permita crear simplificaciones y modelos de explicación, terminas siendo muy venerado.
Definitivamente no soy un mago de las matemáticas o la física de ninguna manera, pero me parece que la pregunta es al revés. El universo ES . Hemos creado números y matemáticas basados ​​en esos números. Y en nuestro sistema tuvimos que agregar 'números imaginarios' para que nuestras ecuaciones coincidieran mejor con el universo que estamos tratando de comprender. Si hubiéramos utilizado algún otro método para cuantificar nuestro universo físico, es posible que no fueran números imaginarios en absoluto; podrían ser números muy importantes que son increíblemente útiles para describir el fenómeno físico que observamos, medimos y modelamos.
Cuanto más avanza esta conversación, más pobre es la descripción de los números complejos de 90 grados. Si bien no está equivocado, no describe que los números complejos están reduciendo muchos sistemas de dimensiones a solo dos dimensiones, siendo lo imaginario cómo las otras dimensiones afectan la parte real. ¿Alguien más piensa que esto es más preciso? O, ¿está totalmente equivocado?
Re, "¿Los físicos realmente creen que llamar a números imaginarios una rotación de 90 grados es una respuesta suficientemente buena?" He aquí un experimento que puedes probar en casa: Grafica una variedad aleatoria de números en el plano complejo. Luego, haz otra gráfica en la que hayas multiplicado todos los números originales por i . Compara las dos parcelas. (Sugerencia: si gira físicamente la primera gráfica en sentido contrario a las agujas del reloj 90 grados, puede ayudarlo a ver hacia dónde se dirige).
@Solomon: Por supuesto, todos hemos estudiado números complejos y estamos de acuerdo con esto ... Pero no es una explicación muy útil o completa. Los vectores también hacen exactamente lo mismo. ¿Son idénticos los números complejos y los vectores? Hemos tenido una amplia variedad de respuestas aquí. No está mal, simplemente no es la respuesta completa.
@Solomon: Déjame preguntarte esto: si es solo una rotación 2d, ¿significa eso que cada vez que se usa para calcular algo, solo se puede usar en un sistema 2d? Entonces, ¿mucha mecánica cuántica trata sobre la rotación en un sistema 2D? ¿Qué sucede cuando usamos números complejos en un espacio de mayor dimensión? Simplemente decir que es una rotación a través de 90 realmente deja a muchas personas rascándose la cabeza en cuanto a por qué se usa tanto cuando todo lo que es es una simple rotación vectorial. ¿Por qué incluso usarlo si es solo una rotación vectorial?
@OzOz, le sugiero que lea los primeros capítulos de este libro: amazon.com/Road-Reality-Complete-Guide-Universe/dp/0679776311 Este también podría ser útil: amazon.com/Linear-Algebra-Right- Grado-Matemáticas/dp/…
@Solomon: ¡Muchas gracias por tu respuesta! Por supuesto, he leído muchos libros sobre el tema. ¿Ni siquiera pudiste intentar explicarlo?
Las "dos dimensiones" en el plano numérico complejo de una amplitud de probabilidad no corresponden a dos dimensiones espaciales en nuestro universo. Una función de onda ψ de una partícula en el espacio 3D es un mapeo R 3 → C .
@Scott: Esta es una de las grandes preguntas que tengo. Cuando hacemos este mapeo, ¿qué sucede con la tercera dimensión? ¿Supongo que hemos perdido información? Entonces, ¿cómo podemos todavía describir completamente el sistema? Cuanto más avanza esta conversación, más creo que los números complejos son una forma de estudiar una dimensión de un sistema multidimensional (el componente real) al comprimir la información de las otras dimensiones en el imaginario al describir cómo las otras dimensiones afectan el principal real dim solamente, sus propios efectos internos eliminados. ¡Pero a la gente no parece gustarle esto!
@OzOz, yo también he leído muchos libros, pero nunca pude apreciar los números complejos hasta que leí "El camino a la realidad". Tendrás que recorrer varios capítulos para verlo. No puedo incluir eso en este hilo de comentarios, ni tengo tiempo. Sin embargo, te daré esta pista: todos los cálculos prácticos se pueden aproximar a "lo suficientemente cerca" usando nada más que proporciones de números enteros. La razón por la que los números complejos son tan convincentes no es que sean más poderosos que los números racionales. Es el álgebra. Las fórmulas escritas son más limpias, más simples, cuando los símbolos representan valores complejos.
Un campo de temperatura es un mapeo R 3 → R . ¿Sigues viendo esto como un problema? ¿Sigues preocupado por la segunda y tercera dimensión?

Respuestas (10)

Los números complejos se usan en todas las matemáticas y, por lo tanto, por extensión, se usan en otros campos que requieren matemáticas; no solo la física, sino también la ingeniería y otros campos. Tratar de asignar una "interpretación física" a un número complejo sería como asignar una interpretación física a un número real, como el número 5.

Un número complejo es simplemente una extensión de un número real. A muchos de nosotros nos enseñaron sobre la " recta numérica " ​​en la escuela primaria , que es solo una línea que (para citar a Wikipedia) sirve como abstracción para los números reales. Al ser una línea, es unidimensional. Los números complejos son iguales, excepto que son bidimensionales: en lugar de estar descritos por una recta numérica real unidimensional, están descritos por un "plano numérico complejo" bidimensional . Usando i para el eje imaginario (donde i 2 = − 1 ) es una conveniencia matemática que hace que los números complejos bidimensionales sean extraordinariamente útiles.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

Los números complejos se utilizan en la física "macro". Se utilizan en el análisis de circuitos eléctricos (especialmente cuando se trata de CA) y en dinámica de fluidos. La solución de ecuaciones diferenciales se simplifica si se utilizan números complejos, al igual que el análisis de Fourier. Cualquier escenario que involucre funciones periódicas o cíclicas se puede modelar utilizando números complejos.

también son fundamentales para la física "micro", ya que no se puede hacer mecánica cuántica sin números complejos.
@Zero Depende del significado de "no se puede hacer mecánica cuántica sin números complejos". Física relevante.stackexchange.com/questions/32422/…
Gracias, pero aún no estoy seguro, -x tiene una interpretación física de retroceder, ¿cuál es la interpretación física de ix?
@OzOz X + i y es una forma práctica de combinar dos parámetros de estado real en una sola cantidad. Para un péndulo, estos parámetros podrían ser la posición y el momento. Para un circuito eléctrico podrían ser corriente y voltaje.
i X Sin embargo, no tiene una interpretación física fácil. i d d X tiene (impulso negativo). Eso muestra que el plano complejo nos brinda una manera fácil de fusionar las distribuciones de probabilidad de posición y momento en una sola función (la función de onda).
Definitivamente podrías hacer QM sin números complejos, @ZeroTheHero. Si desea hacerlo de esa manera es una cuestión diferente. La ecuación de Schrödinger tiene una formulación real: una ecuación compleja se convierte en dos ecuaciones reales. Podrías hacer lo mismo con cualquier otra teoría de campo, pero probablemente sea un trabajo arduo.
i X tiene una interpretación física perfectamente buena, cuando si X representa un vector en un plano complejo: i X representa el vector que obtienes al rotar X en el sentido de las agujas del reloj 90 ∘ .
"especialmente cuando se trata de CA" - Cierto. @OzOz Compare esta pregunta .
Respuestas interesantes. Recuerdo alguna teoría de números que decía que, para describir correctamente la línea real, en realidad tenías que usar números complejos. La razón es algo así como porque la línea real tiene infinitos incontables, para describir la forma de los objetos que son infinitamente pequeños en la línea real, tenías que tener una nueva variable para describir esta forma. Estos objetos infinitamente pequeños no existían, pero podían expandirse o moverse a gran velocidad y tener un efecto de objetos reales. ¿La interpretación física del momento solo tiene sentido?
Lo siento, ¡esa respuesta fue confusa! Supongo que quiero decir: ¿los números complejos definitivamente tienen algo que ver con la formación de una segunda dimensión? ¿Qué tipo de dimensión y por qué? Creo que tiene algo que ver con mantener la forma en otro espacio que no tiene forma en la dimensión anterior, pero sé lo confuso que es eso, ¿alguien puede explicarlo mejor?
Cuando se usan números complejos en electrodinámica, solo hay una cosa perpendicular, el campo magnético... En mecánica cuántica i tiene muchas dimensiones perpendiculares.
Los números complejos en realidad hablan de un sistema en el que las dimensiones están anidadas entre sí, un tamaño normal con forma, pero también una dimensión más pequeña, que también tiene forma, pero solo para sí mismo, no para un observador en la dimensión de tamaño normal. Solo las dimensiones vecinas pueden interactuar, y lo hacen, una a la otra y viceversa, en forma de onda. La dimensión imaginaria no se puede ver, pero con el tiempo su cambio puede hacer que aumente de tamaño a la dimensión de tamaño normal, es por eso que muchos dicen que id/dx es real. También es una rotación de la dimensión normal a una nueva dimensión.
@OzOz Perspectiva de un matemático no físico: cuando tiene vectores, puede modelarlos usando álgebra lineal o números complejos. Las funciones diferenciales complejas tienen muchas propiedades mágicas , lo que las hace más convenientes cuando necesitas hacer muchos cálculos.
¿Puede agregar algo que aborde la cuestión principal de tener una interpretación física de los números imaginarios?
@LeeMosher ITYM multiplicando por i gira el vector en sentido antihorario .
Buen punto. Estaba pensando en "dirección positiva" y escribí en el sentido de las agujas del reloj.

El objeto fundamental de la mecánica cuántica es la amplitud , que codifica información sobre cómo un sistema pasa de un estado a otro. Por ejemplo, si está realizando un experimento de doble rendija, es posible que le interese cómo un electrón pasa del estado de entrada previa a la rendija a un estado en el que llega a una determinada ubicación. X en el detector. Para cada estado de resultado diferente habría una amplitud diferente METRO X .

Nos preocupamos por las amplitudes porque nos pueden informar sobre las probabilidades. De acuerdo con la regla de Born, la probabilidad de que el electrón termine en la ubicación X viene dado por el valor absoluto del cuadrado de la amplitud, PAG ( X ) = | METRO X | 2 .

La probabilidad es un número real no negativo, pero ¿qué tipo de objeto debería representar la amplitud? ¿Un número real positivo? ¿Algún número real? ¿Un par de números reales? ¿Un número complejo? ¿Algún objeto matemático aún más abstracto?

Este documento aborda la pregunta al notar que dado que las amplitudes corresponden a diferentes experimentos, y los experimentos se pueden encadenar de varias maneras, debemos poder combinar dos amplitudes para obtener una tercera amplitud, y debemos poder combinarlas en al menos de dos maneras distintas. Luego, el documento demuestra que, si elige representar las amplitudes como pares de números reales, las operaciones que corresponden a los experimentos de combinación terminan actuando exactamente como la suma compleja y la multiplicación compleja.

El documento no responde a la pregunta de por qué las amplitudes deberían ser pares de números reales en lugar de números reales individuales, o triples o algo más complejo, pero es un buen punto de partida para ver cómo la aritmética compleja cae fuera de la lógica de los experimentos cuánticos.

PD El uso de números reales únicos para amplitudes no puede explicar el experimento de rendija simple / rendija doble, donde agregar una segunda rendija da como resultado ceros en la distribución de probabilidad que no estaban presentes en la distribución de probabilidad de rendija simple. Usar un par de números reales (o un número complejo) es el siguiente sistema más simple que puede explicar este comportamiento.

Eso es muy interesante, tomará algún tiempo para entender.
"Usar números reales únicos para amplitudes no puede explicar el experimento de rendija simple / rendija doble" No lo creo. Consulte mi respuesta en physics.stackexchange.com/questions/32422/…
@akhmeteli Mi argumento es bastante simple. La distribución de probabilidad con una rendija es ψ 1 ( X ) 2 , y no tiene ceros. La distribución de probabilidad con dos rendijas es ( ψ 1 ( X ) + ψ 1 ( X + a ) ) 2 dónde a es la separación de rendijas. La distribución de dos rendijas tiene ceros. No existe una función real continua que se comporte de esta manera cuando se agrega a una versión desplazada de sí misma. En última instancia, se debe a que para pasar de reales positivos a reales negativos, debe pasar por cero (lo que no es cierto para los números complejos). Puede definir QM con funciones de onda reales, pero no puede hacer lo anterior.
Entonces, para reformular esta respuesta, la forma de comprender la "interpretación física de los números complejos" (como lo solicitó OP) es comprender la interpretación física de las operaciones en números complejos como amplitudes. Y entonces uno puede darse cuenta de que las características de las amplitudes dan una definición de números complejos. ¡Suena bien!
@LukePritchett: ¿Y por qué necesito hacer lo anterior?
@akhmeteli ¿Porque es un hecho experimental que la distribución de probabilidad para el experimento de una sola rendija no tiene ceros y la distribución de probabilidad para el experimento de doble rendija tiene ceros? Si cree que las distribuciones de probabilidad deben provenir de cuadrados de funciones de onda continuas, entonces debe usar funciones de onda complejas, de lo contrario no podrá predecir los ceros correctamente.
@LukePritchett: su argumento no parece sostener el agua: Schrödinger explicó en su artículo de 1952 que cualquier solución con una función de onda compleja (escalar) es físicamente equivalente a una solución con una función de onda real, que se puede obtener de la solución inicial por una transformación de calibre. Schrödinger escribió: “Que la función de onda de [la ecuación de Klein-Gordon] pueda hacerse realidad mediante un cambio de calibre no es más que una perogrullada, aunque contradice la creencia generalizada de que los campos 'cargados' requieren una representación compleja”.
@akhmeteli Sin embargo, no estoy hablando de la ecuación de Klein-Gordon. Las soluciones a la ecuación de Klein-Gordon no funcionan como funciones de onda, ¿verdad? Pero al final, muéstrame una función de onda real que dé las distribuciones correctas de una y dos rendijas y te creeré.
@LukePritchett: el enfoque de Schrödinger también funciona para la ecuación original de Schrödinger. No necesito que me creas a mí o a Schrödinger, pero si tienes una solución compleja de un problema de difracción ρ Exp ⁡ ( i φ ) en 4 potenciales A m , entonces tienes una solución real ρ de un problema en 4 potenciales A m + ∂ m φ , que produce el mismo campo electromagnético (desprecio signos y factores constantes en las fórmulas).
@akhmeteli Pero no estoy hablando de un campo vectorial. Estoy hablando de la función de onda de un electrón no relativista. Un cuatro potencial no tiene nada que ver con el experimento del que estoy hablando. Aquí: mi i k r / r es una función de onda para un electrón a través de una sola rendija. Agregado a sí mismo desplazado, la función de onda de dos rendijas es mi i k r / r + mi i k | r → − a X ^ | / | r → − a X ^ | . Estos dos dan las distribuciones de probabilidad correctas en un detector lejos de las rendijas. ¿Qué función de onda real debo usar en lugar de mi i k r / r obtener las mismas distribuciones?
@akhmeteli Es posible escribir mis dos funciones de onda de ejemplo como funciones reales multiplicadas por una función de fase. Pero mi pregunta es ¿cómo empiezo con la versión real de la primera función de onda y obtengo la segunda función de onda? La diferencia de fase entre los dos sumandos es crucial para el patrón de interferencia, pero la diferencia de fase correcta no es del todo obvia cuando se usan solo funciones de onda reales. La suma compleja tiene que ocurrir en alguna parte, incluso si se oculta eliminando las fases generales al final.
@LukePritchett: "Pero no estoy hablando de un campo vectorial. Estoy hablando de la función de onda de un electrón no relativista. Un potencial de cuatro no tiene nada que ver con el experimento del que estoy hablando". no entiendo eso Estoy hablando de un electrón no relativista descrito por una función de onda escalar φ , sin embargo, el electrón se mueve en un campo electromagnético externo A m (si no tiene un campo externo, no tiene el experimento de doble rendija). Puede elegir una transformación de indicador que involucre φ y A m de una manera que φ se vuelve real
@LukePritchett: solo una corrección a mi comentario anterior: debería haber indicado la función de onda escalar por letra ψ en lugar de φ , para evitar confusiones con la fase de la función de onda.

Número complejo como cualquier número por sí solo no dice nada acerca de la física en absoluto. Tiene que estar ligado a alguna(s) unidad(es) de medida o tener una definición bien definida en física.

Por ejemplo, el índice de refracción complejo se define en física como:

norte _ = norte + i k .

Aquí parte imaginaria k se define como coeficiente de atenuación - resistividad material a la penetración de ondas de luz

EDITAR

Los números complejos se utilizan de forma intensiva para describir cualquier tipo de onda, porque puede poner la amplitud de onda y la fase de onda en una sola amplitud de onda de valor complejo:

Z = A mi i ϕ

Entonces, la mayoría de las cosas relacionadas con las ondas pueden expresarse, al menos teóricamente, en números complejos.
Por ejemplo, el índice de refracción complejo se puede rastrear hasta otras propiedades de onda de la siguiente manera:

k _ = 2 π norte _ / λ 0
dónde k _ es número de onda complejo

PRIMA

Otra razón por la que el plano complejo es atractivo: puede hacer más matemáticas si no está atado a los números reales. Por ejemplo, incluso puedes tomar un logaritmo natural de un número real negativo :

en ⁡ ( − X ) = en ⁡ ( X ) + π   i

lo que da como resultado un número complejo ! Entonces, nunca confíes en tu calculadora de bolsillo

Siento que esto se está acercando a una respuesta real, pero es demasiado específico, ¿hay alguna forma de que esto pueda generalizarse?
ver editar, traté de hacer algún tipo de generalizaciones
Interesante, ¿entonces se puede usar un número complejo para expresar cualquier sistema en el que haya dos propiedades independientes que se puedan medir? ¿Cuál podría ser una segunda dimensión o una propiedad física diferente?
¿Es esto diferente a la introducción de una variable completamente nueva? ¿Supondría que la identidad i^2=-1 no se aplicaría si fueran dimensiones totalmente independientes o propiedades físicas totalmente independientes? ¿Qué significa esta conexión físicamente? Es similar a agregar una nueva dimensión, pero hay una diferencia, una conexión entre la dimensión imaginaria y la real. Siento que podría ser similar a la diferencia entre la dimensión radial (va al infinito, no se repite) y una dimensión radial (distancia limitada, repeticiones, la longitud está establecida por la dimensión radial, se basa en la radial).
@OzOz Si tomamos un número positivo y lo multiplicamos por i, obtenemos uno imaginario que es como un cambio de fase de 90 grados y es completamente ortogonal. Así que sí, parece ser como una variable independiente, pero luego, si volvemos a multiplicar por i, ahora tenemos un cambio de fase de 180 grados, que es la negación a lo largo del eje real original.
@OzOz, Re, "[puede] usarse un número complejo... para expresar cualquier sistema en el que haya dos propiedades independientes...?" un vector bidimensional puede hacer eso, y el plano complejo es un espacio vectorial bidimensional, pero algunos problemas (p. ej., descripciones matemáticas de funciones periódicas y movimiento ondulatorio) encajan especialmente bien con las peculiares propiedades algebraicas de los números complejos.
@Solomon ¿Por qué es una buena opción para funciones periódicas? Además del hecho de que las funciones periódicas se mueven entre dos cosas, ¿cuál podría describirse usando vectores? Si es solo que es más fácil entonces ¿cómo y por qué? Pero, otras personas dicen que es debido a que es más fácil con el cálculo, aún más dicen que es debido al análisis complejo que funcionan las pruebas de Cauchy, aún más dicen que son exactamente lo mismo que los vectores. ¿Realmente se siente que esto es mal entendido? ¿Podría explicar más y aclararlo? ¿Puede alguien?

Los números complejos son solo una forma conveniente de representar un vector bidimensional. Se utilizan en todo tipo de situaciones cotidianas en las que tiene un componente X e Y, o una magnitud y una fase.

Esta respuesta ignora el grupo multiplicativo de los números complejos. Las propiedades multiplicativas de los números complejos son bastante importantes, y no se caen por ser simplemente un vector de 2 dimensiones.
Mejor un cierto tipo de matrices de 2x2, no solo vectores.

Los números complejos hacen dos cosas obvias. Si piensas en ellos como vectores 2D en un plano, comenzando en tu punto arbitrario (0,0), entonces sumar números complejos es una suma de vectores.

Y si piensas en ellos como ángulos de un ángulo arbitrario de coordenadas polares (0,1), entonces cuando multiplicas dos de ellos obtienes la suma de los ángulos (y el producto de las magnitudes).

Eso puede ser útil siempre que tenga algo que funcione como un plano 2D, donde desee realizar sumas de vectores o sumas de ángulos.

Entonces, por ejemplo, un péndulo puede tener energía cinética y energía potencial, y en su mayoría la suma de ellas es constante. Son dos cosas diferentes por lo que puedes representarlas en un plano 2D, como un círculo cuyo radio es la energía total. Cuando conviertes de uno a otro, se mueve alrededor del círculo. Puedes representar su movimiento con números complejos.

Puede hacer eso con cualquier cosa que convierta de un lado a otro entre dos formas, pero a veces implicará matemáticas de números complejos más fáciles que otras veces.

A veces, las cosas encajan en rotaciones en 4 dimensiones, y luego puedes usar cuaterniones como si usaras números complejos para 2 dimensiones. Puede representar fácilmente órbitas elípticas con cuaterniones, incluso más fácil de lo que puede usarlos para rotaciones 3D. Para cualquier ángulo a lo largo de la órbita, puede obtener la posición 3D y también el tiempo: qué tan adelante o atrás está el tiempo en que alcanzaría ese ángulo en una órbita circular.

Usa las matemáticas donde sea que encaje.

De acuerdo, usa las matemáticas donde encaje, durante generaciones, luego un día tienes suficientes lugares donde encaja y entonces alguien viene y lo entiende y lo pone todo en una teoría concisa como lo hizo Newton para el cálculo. Tal vez, pero realmente parece que las explicaciones que obtengo de los números complejos faltan en alguna parte.
Expliqué la teoría concisa. Tienes la oportunidad de hacer sumas de vectores y rotaciones, entre dos cosas que son independientes y, por lo tanto, pueden considerarse dimensiones diferentes. Eso es todo. Es útil en cualquier lugar donde tenga sentido hacer una o ambas cosas.

Si los números reales positivos son números hacia adelante y los números reales negativos son números hacia atrás, entonces los números imaginarios son números hacia los lados.

En términos de ángulos, se podría pensar que los números reales positivos tienen un ángulo de 0°, los números negativos tienen un ángulo de 180° y los números laterales o imaginarios tienen un ángulo de ±90°. Esto es útil en ingeniería eléctrica cuando se cotizan impedancias. Una impedancia es la versión de CA de la resistencia en un circuito de CC. Tiene un componente inactivo que no cambia el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje y una reactancia que cambia el ángulo entre ellos en ±90°. (El signo depende de si la reactancia es capacitancia o inductancia).

Si desea combinar los dos en un "número", puede usar números complejos donde la parte real es la resistencia y la parte imaginaria se convierte en la reactancia. Luego, las fórmulas continúan funcionando como las simples de la Ley de Ohm usando resistencia pero con números complejos en su lugar. Tanto la resistencia como la reactancia se tienen en cuenta al mismo tiempo.

Básicamente, en cualquier lugar donde tenga cosas que estén a 90 ° de alguna manera, los números imaginarios podrían ser útiles. Esas podrían ser las coordenadas x e y o donde ocurren ondas seno y coseno.

Entonces, si necesita números bidimensionales, podrían ser el camino a seguir. Para tres o más números dimensionales, probablemente pasaría a los tensores.

+1. Podría ampliar este ejemplo con ideas como la fase de una corriente variable que se muestra en un número complejo. Sumar dos corrientes complejas tiene sentido (por ejemplo, si son paralelas). Multiplicar una corriente compleja por una impedancia compleja también es significativo para dar un voltaje complejo, que puede estar desfasado con la corriente. A veces, es posible que desee considerar sus números complejos en forma polar, lo que enfatizará la amplitud y la fase.

Es una buena idea pensar en los números imaginarios como números perpendiculares a los reales. Multiplicar un real por -1 lo "rota" 180° en la recta de los números reales. Multiplicar un real por i lo gira 90° para que caiga en la línea imaginaria. Al multiplicar nuevamente por i, se gira 90 grados más para que vuelva a aterrizar en el eje real. Por lo tanto i*i=-1. Todo esto es increíblemente básico, pero es la forma en que me gusta abordar los números complejos en escenarios más complicados que involucran ecuaciones diferenciales y exponenciales complejas, etc.

Al final, los números imaginarios no son más "antifísicos" que los números negativos. Los números negativos extienden la línea de reales positivos agregando algunos números a la izquierda y los números imaginarios extienden los reales agregando algunos números perpendicularmente. El uso de números negativos e imaginarios podría eliminarse de las ecuaciones, pero las haría mucho menos convenientes.

Al tratar con funciones sinusoidales que están desfasadas como en los circuitos u ondas de CA, generalmente es posible poner las ecuaciones en una forma que se asemeje a la suma de las componentes x de dos o más vectores para obtener la componente x del vector resultante. Se puede pensar que los vectores giran en un plano 2D. Suele ser más conveniente trabajar con los vectores que con los componentes. Si los vectores se visualizan en un plano xy, solo las componentes x son significativas. Si se visualizan en el plano de números complejos, se representan fácilmente mediante funciones complejas, pero nuevamente, en la mayoría de los casos, solo los componentes reales de los vectores tienen significado físico.

Perdón por una historia larga, que solo aborda el título de su pregunta (y no las preguntas internas).

Recuerdo la primera vez que me presentaron los números complejos en la escuela. El profesor (de matemáticas, no de física) nos explicaba cómo resolver ecuaciones cuadráticas ( a.x^2+b.x+c=0). Después de darnos el método, terminó con la conocida solución para las raíces:

X = − b ± b 2 − 4 a C 2 a

Por supuesto, no pasó mucho tiempo para que un estudiante brillante le dijera al maestro: "Oye, pero ¿qué pasa si la expresión en la raíz cuadrada es negativa?" Por ejemplo solve x^2+1=0, tus raíces serán:

X = ± − 4 2

Todos ( o la mayoría ) de la clase entendieron el acertijo y comenzaron a rascarse la cabeza porque sabían con certeza que ningún número podía elevarse al cuadrado y conservar un signo negativo...

El maestro continuó, completamente imperturbable, "No es un problema, podemos hacer herramientas para eso. Solo usemos una cantidad idefinida como i^2=-1". Y pasó a introducir los números complejos y las reglas en el plano complejo.

Una vez más, no pasó mucho tiempo antes de que una voz de la audiencia desconcertada gritara: "Entonces, esta es una forma enrevesada de eludir las reglas que nos enseñaron previamente (como un número al cuadrado siempre será positivo). ¿De qué sirve eso? ¿Por qué ir a tal complejidad? ( sin juego de palabras, aunque ahora me pregunto cómo los números complejos obtuvieron su nombre inicialmente ).

Así que el maestro lo expresó de esta manera:

Hay muchas ecuaciones físicas que siguen una ley cuadrática, o incluso leyes más complicadas en las que las soluciones implicaban raíces cuadradas de números potencialmente negativos y (antes de los números complejos) los médicos no podían resolver su sistema por completo, por lo que pidieron a los matemáticos que definieran un nuevo dominio (más grande que el Realdominio) donde estos sistemas serían solucionables. Los números complejos son la herramienta que se les ocurrió a los matemáticos.

Ahora mi comprensión de los números complejos es un poco más profunda, pero esta simple descripción sigue siendo cierta. Los números complejos son solo una herramienta matemática . Un número complejo no tiene otro equivalente físico que el que tú le das.

Lo mismo puede decirse de los Realnúmeros. Trabajo con una herramienta multisensor que mide 10 parámetros diferentes en paralelo. La salida para cualquiera es solo una lista de números, solo yo lo sé:

  • el primer número representa un Peso, en [N] ,
  • el segundo es un Momento, en [Nm]
  • el tercero es una aceleración, en [G]
  • etcétera ...

Todas las diferentes dimensiones físicas, sin embargo, en mi pantalla son solo números , solo en mi cabeza sé que este representa esto, este representa aquello...

Para números complejos, tienes 2 componentes. Cada uno puede representar una dimensión física diferente (campo eléctrico y campo magnético para EM). La iparte es solo la herramienta matemática que le permite manejar estos números de una forma más elegante (porque también podría describir cada componente por separado solo con números reales, pero las ecuaciones se vuelven realmente feas). El ien sí mismo no significa nada físicamente.

Estoy de acuerdo, los números complejos son una herramienta matemática. Pero no me gusta la descripción de una rotación de 90 grados... Creo que son una herramienta matemática en la que tomas una dimensión principal (que llamas números reales, generalmente algo que puedes medir), luego pones todos los otras dimensiones en la parte imaginaria. La parte imaginaria es cómo todas las demás dimensiones afectan la parte que has elegido para que sea real. Anteriormente en la física solo había una dimensión en el lado imaginario, ahora con la cuántica hay muchos dims y las matemáticas son complicadas porque hay múltiples dimensiones en las que podría ser.
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