Resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: ¿Tiene sentido una solución compleja?

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Resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: ¿Tiene sentido una solución compleja?

joebevo

En mis notas, tengo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula libre

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + \frac{{pag}^{2}}{ℏ^{2}} ψ = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{p^2}{\hbar^2}\psi=0\tag1$

La solución a esto se da, en mis notas, como

\begin{matrix} (2) & ψ (X) = C {mi}^{(\frac{i pag X}{ℏ})} \end{matrix}

$\Large \psi(x)=C e^\left(\frac{ipx}{\hbar}\right)\tag2$

Ahora, dado que (1) es una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, dados los coeficientes que tenemos, obtenemos un par de raíces complejas:

\begin{matrix} (3) & r_{1, 2} = \pm \frac{i pag}{ℏ} \end{matrix}

$r_{1,2}=\pm \frac{ip}{\hbar}\tag3$

Por lo tanto, la solución más general se parece a:

\begin{matrix} (4) & ψ (X) = C_{1} porque (\frac{pag X}{ℏ}) + C_{2} pecado (\frac{pag X}{ℏ}) \end{matrix}

$\psi(x)=c_1 \cos \left(\frac{px}{\hbar}\right)+c_2 \sin \left(\frac{px}{\hbar}\right)\tag4$

Sin embargo, en lugar de escribir la solución como un coseno más un pecado, el profesor parece haber tomado un caso especial de la solución general (con $c_1=1$ y $c_2=i$ ) y convertimos el resultado

\begin{matrix} (5) & ψ (X) = porque (\frac{pag X}{ℏ}) + i pecado (\frac{pag X}{ℏ}) \end{matrix}

$\psi(x)=\cos \left(\frac{px}{\hbar}\right)+ i\sin \left(\frac{px}{\hbar}\right)\tag5$ en forma exponencial, utilizando

\begin{matrix} (6) & {mi}^{i θ} = porque θ + i pecado θ \end{matrix}

$e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta \tag6$ para obtener (2).

La pregunta principal que tengo con respecto a esto es: ¿no deberíamos buscar soluciones reales e ignorar las complejas para esta situación particular? Según mi entendimiento $\Psi(x,t)$ es complejo pero $\psi(x)$ debe ser real Gracias de antemano.

kenshin

La función de onda no necesita y no debe ser real.

Miguel

Hay casos en los que puede salirse con la suya con una función de onda real, pero el caso complejo es más general y fundamental. El hamiltoniano de partículas libres

\hat{H}

$\hat{H}$ viajes con reflejo

x \to - x

$x\rightarrow -x$ ,

p \to - p

$p\rightarrow -p$ , por lo que los estados con momentos

\pm p

$\pm p$ son ambas soluciones. En la ecuación (2) han elegido la solución que es un valor propio del operador de cantidad de movimiento

\hat{p}

$\hat{p}$ con un signo más

+

$+$ . El otro signo también es una solución y representa una onda que va en dirección opuesta. Su solución real contiene ondas que se mueven a la izquierda y a la derecha.

Miguel

Si miras la corriente de partículas

\vec{j} \propto ψ^{⋆} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{⋆}

$\vec{j}\propto \psi^\star \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\star$ Verá que las funciones de onda reales corresponden a estados en los que no hay corriente neta, por lo que solo puede esperar que aparezcan cuando tenga estados vinculados. Si no hay nada que refleje una partícula por donde vino, entonces es libre de moverse hacia el infinito y la corriente no puede desaparecer, por lo que la función de onda no puede ser real.

qmecanico

Relacionado: El libro de Griffiths, Introducción a QM, Problema 2.1b, p.24; y esta publicación de Phys.SE.

Respuestas (1)

Resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: ¿Tiene sentido una solución compleja?

Hay casos en los que puede salirse con la suya con una función de onda real, pero el caso complejo es más general y fundamental. El hamiltoniano de partículas libres $\hat{H}$ viajes con reflejo $x\rightarrow -x$ , $p\rightarrow -p$ , por lo que los estados con momentos $\pm p$ son ambas soluciones. En la ecuación (2) han elegido la solución que es un valor propio del operador de cantidad de movimiento $\hat{p}$ con un signo más $+$ . El otro signo también es una solución y representa una onda que va en dirección opuesta. Su solución real contiene ondas que se mueven a la izquierda y a la derecha.
Si miras la corriente de partículas $\vec{j}\propto \psi^\star \nabla \psi - \psi \nabla \psi^\star$ Verá que las funciones de onda reales corresponden a estados en los que no hay corriente neta, por lo que solo puede esperar que aparezcan cuando tenga estados vinculados. Si no hay nada que refleje una partícula por donde vino, entonces es libre de moverse hacia el infinito y la corriente no puede desaparecer, por lo que la función de onda no puede ser real.
Relacionado: El libro de Griffiths, Introducción a QM, Problema 2.1b, p.24; y esta publicación de Phys.SE.

Eduardo Guerras Valera · Answer 1

No hay necesidad de la solución. $\psi(x)$ ser real. Lo que debe ser real es la densidad de probabilidad que es "portada" por $\psi(x)$ . De alguna manera intuitiva vaga e imprecisa, puede pensar en una imagen de televisión transportada por ondas electromagnéticas. La señal que viaja no es en sí misma la imagen, pero la lleva, y puede recuperar la imagen decodificando la señal correctamente.

De manera similar, la función de onda compleja que se encuentra al resolver la ecuación de Schrödinger lleva la información de "dónde es probable que esté la partícula", pero de manera indirecta. La información sobre la densidad de probabilidad $P(x)$ de encontrar la partícula se recupera de $\psi(x)$ simplemente multiplicándolo por su complejo conjugado:

ψ (X)^{*} ψ (X) = PAG (X)

$\psi(x)^*\psi(x) = P(x)$

que da como resultado una función real. Tenga en cuenta que es una densidad : lo que finalmente calcula es la probabilidad de encontrar la partícula entre $x=a$ y $x=b$ como $\int_{a}^{b} P(x) dx$

Como sabes, cuando multiplicas un número complejo (/ función) por su conjugado complejo, la información sobre la fase se pierde:

ρ {mi}^{i θ} ρ {mi}^{- i θ} = ρ^{2}

$\rho e^{i \theta}\rho e^{-i \theta}=\rho^{2}$

Por esa razón, en algunos lugares se puede leer (no del todo correctamente) que la fase no tiene un significado físico (ver nota al pie), y luego uno puede preguntarse "si eventualmente obtengo números reales, ¿por qué no inventaron una teoría que maneje directamente funciones reales?".

La respuesta es que, entre otras razones, las funciones de onda complejas hacen que la vida sea interesante porque, dado que la ecuación de Schrödinger es lineal, el principio de superposición se cumple para sus soluciones. Las funciones de onda se suman, y es en esa suma donde las fases relativas juegan el papel más importante.

El caso arquetípico ocurre en el experimento de la doble rendija. Si $\psi_{1}$ y $\psi_{2}$ son las funciones de onda que representan la partícula procedente del número de agujero $1$ y $2$ respectivamente, la función de onda final es

ψ_{1} + ψ_{2}

$\psi_{1}+\psi_{2}$ y por lo tanto la densidad de probabilidad de encontrar la partícula después de haber cruzado la pantalla con dos agujeros se encuentra a partir de

{PAG}_{1 + 2} = (ψ_{1} + ψ_{2})^{*} (ψ_{1} + ψ_{2})

$P_{1+2}= (\psi_{1}+\psi_{2})^{*}(\psi_{1}+\psi_{2})$

Es decir, primero debe sumar las funciones de onda que representan los agujeros individuales para tener la función de onda compleja combinada y luego calcular la densidad de probabilidad. Además, las informaciones de fase transportadas por $\psi_{1}$ y $\psi_{2}$ juegan el papel más importante, ya que dan lugar a patrones de interferencia.

Comentario: se cita que Feynman dijo : "Una de las miserias de la vida es que todos nombran las cosas un poco mal, y eso hace que todo sea un poco más difícil de entender en el mundo de lo que sería si se llamara de otra manera". Aquí es bastante parecido. Todos los libros dicen que la fase de la función de onda no tiene significado físico. Eso no es 100% correcto, como ves.

Resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: ¿Tiene sentido una solución compleja?

joebevo

kenshin

Miguel

Miguel

qmecanico

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Eduardo Guerras Valera

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