Inexistencia de una probabilidad para ecuaciones de ondas reales

Question

Inexistencia de una probabilidad para ecuaciones de ondas reales

Mauricio Barbato

David Bohm en la Sección (4.5) de su maravillosa monografía Quantum Theory da un argumento para mostrar que para construir una teoría físicamente significativa de los fenómenos cuánticos, la función de onda $\psi$ debe ser una función compleja.

Su argumento es el siguiente. Considere por simplicidad el caso unidimensional y sea

ψ = tu + i V,

$\psi=U + i V,$ con

U

$U$ y

V

$V$ verdadero. De la ecuación de Schrödinger se ve fácilmente que

U

$U$ y

V

$V$ satisfacer las siguientes ecuaciones de segundo orden desacopladas:

\frac{\partial^{2} tu}{\partial t^{2}} = - \frac{ℏ^{2}}{4 {metro}^{2}} \frac{\partial^{4} tu}{\partial X^{4}}, \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} = - \frac{ℏ^{2}}{4 {metro}^{2}} \frac{\partial^{4} V}{\partial X^{4}} .

$\begin{equation} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4m^2} \frac{\partial^4 U}{\partial x^4},\\ \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4m^2} \frac{\partial^4 V}{\partial x^4}. \end{equation}$ Podríamos pensar entonces en reemplazar la ecuación de Schrödinger por la función de valores complejos

ψ

$\psi$ con, por ejemplo, la ecuación anterior para

U

$U$ , por lo que para construir toda la mecánica cuántica sobre

U

$U$ . Para hacerlo, deberíamos poder definir una probabilidad conservada positiva

P

$P$ , definida como una función de

U

$U$ , y las derivadas parciales de

U

$U$ de orden como máximo 1 con respecto a

t

$t$ (ya que los datos iniciales para nuestra ecuación de segundo orden son

U (x, 0)

$U(x,0)$ y

\frac{\partial U}{\partial t} (x, 0)

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)$ , necesitamos

P (x, t)

$P(x,t)$ ser una función del estado

U (x, t)

$U(x,t)$ y

\frac{\partial U}{\partial t} (x, t)

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,t)$ del sistema en el momento

t

$t$ y sus derivadas espaciales). Prueba, por ejemplo

PAG = \frac{1}{2} {(\frac{\partial tu}{\partial t})}^{2} + \frac{ℏ^{2}}{8 {metro}^{2}} {(\frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}})}^{2} .

$\begin{equation} P=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial U}{\partial t} \right)^2 + \frac{\hbar^2}{8m^2} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \right)^2. \end{equation}$ Uno puede ver fácilmente que la siguiente ecuación de continuidad se cumple

\frac{\partial PAG}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial X} = 0,

$\begin{equation} \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x}=0, \end{equation}$ con

J

$J$ definido por

j = \frac{ℏ^{2}}{4 {metro}^{2}} (\frac{\partial tu}{\partial t} \frac{\partial^{3} tu}{\partial X^{3}} - \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} \frac{\partial^{2} tu}{\partial X \partial t}) .

$\begin{equation} J= \frac{\hbar^2}{4m^2} \left( \frac{\partial U}{\partial t} \frac{\partial^3 U}{\partial x^3} - \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \frac{\partial^2 U}{\partial x \partial t} \right). \end{equation}$ Asi que

P

$P$ es positivo y conservado. No obstante, esto

P

$P$ no es físicamente aceptable, ya que si consideramos la solución

U (x, t) = \cos (k x - ω t)

$U(x,t)=\cos(kx-\omega t)$ , donde

ω = \frac{ℏ k^{2}}{2 m}

$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$ , entonces obtenemos

PAG = \frac{ω^{2}}{2} = \frac{{mi}^{2}}{2 ℏ^{2}} .

$\begin{equation} P=\frac{\omega^2}{2}=\frac{E^2}{2 \hbar^2}. \end{equation}$ En una teoría no relativista debería ser posible elegir arbitrariamente el cero de la energía y aún así obtener una teoría equivalente. Pero, en nuestro caso, podríamos elegir el cero de energía para obtener

P = 0

$P=0$ , y debemos concluir que nuestra definición de probabilidad no es físicamente aceptable.

Ahora Bohm afirma que esta conclusión es válida no solo para la función de probabilidad específica que hemos definido anteriormente, sino también para cualquier probabilidad que podamos definir que involucre $U$ y las derivadas parciales de $U$ de orden como máximo 1 con respecto a $t$ .

¿Alguien tiene alguna idea de por qué debería ser así en general?

NOTA 1). Bohm no expresa su declaración en una forma matemática rigurosa, ya que no define con precisión lo que quiere decir con una "función de probabilidad aceptable". Él sólo da la siguiente definición vaga.

Dejar $P(x,t)$ ser una función sólo de $U(x,t)$ , y las derivadas parciales de $U$ de orden como máximo 1 con respecto a $t$ todo calculado en $(x,t)$ , eso es asumir que existe una función no constante $p$ tal que $P(x,t)=p \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right)$ , donde $D_{x}^d F$ es el conjunto de todas las derivadas parciales de $F$ con respecto a $x$ de la orden $0$ (esa es la función en sí) para ordenar $d$ .

Entonces, decimos que $P$ es una función de probabilidad aceptable si cumple las siguientes propiedades:

P es real y nunca negativo;
la cantidad $\int P(x,t) dx$ se conserva en el tiempo para cada solución $U(x,t)$ de la ecuación de onda anterior, de modo que después de haber normalizado $P$ podemos obtener $\int P(x,t) dx=1$ para todos $t$ ;
la importancia de $P$ no depende de manera crítica de ninguna cantidad que se sepa en términos físicos generales que es irrelevante: en particular, esto implica (ya que estamos tratando con una teoría no relativista) que $P$ no debe depender de donde se elija el cero de energía.

Estas propiedades, con la excepción de la primera, no están formuladas con precisión, por lo que deben expresarse en una forma matemática un poco más precisa. En particular, en cuanto a la propiedad (2), Bohm parece interpretarla en el sentido de que existe una función función $j$ , tal que si ponemos $J(x,t)=j \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right)$ , se cumple la siguiente ecuación de continuidad

\frac{\partial PAG}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial X} = 0.

$\begin{equation} \frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0. \end{equation}$ En cuanto a la propiedad (3), siguiendo a Bohm, podríamos interpretar que requiere que para la solución particular

U (x, t) = \cos (\sqrt{\frac{2 m ω}{ℏ}} x - ω t)

$U(x,t)=\cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right)$ debemos obtener una función de probabilidad

P (x, t)

$P(x,t)$ que es independiente de

ω

$\omega$ .

Notemos explícitamente que Bohm, en su discusión previa sobre la definición de probabilidad para la ecuación de Schrödinger, requiere una propiedad adicional, que en nuestro contexto diría:

la probabilidad $P$ es grande cuando $|U|$ es grande y pequeño cuando $|U|$ es pequeño.

De todos modos, no podemos exigir esta propiedad adicional aquí. De hecho, si tomamos en serio la propiedad (4), interpretándola en el sentido de que $P_{U_1}(x,t) \geq P_{U_2}(x,t)$ por cada dos soluciones $U_1$ y $U_2$ con $|U_1(x,t)| \geq |U_2(x,t)|$ , entonces obtendríamos eso $P(x,t)=p(|U(x,t)|)$ , donde $p$ es una función no decreciente (para una prueba, consulte el Lema en esta respuesta ). Pero entonces, al considerar la solución particular $U(x,t)=U_0 \cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right)$ , donde $U_0$ es una constante, vemos que la independencia de $P(x,t)$ de $\omega$ implicaría que $p$ es una función constante.

Para obtener una formulación matemática detallada de la declaración de Bohm, consulte mi publicación en MathOverflow Conservated Positive Charge for a PDE .

NOTA 2). Se puede dar una interpretación diferente y tal vez más natural de la Propiedad (3) de la siguiente manera. Si partimos de la ecuación de Schrödinger para una partícula en el caso de un potencial $W(x)$

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (X, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} ψ (X, t) + W (X) ψ (X, t),

$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) + W(x) \psi(x,t), \end{equation}$ entonces obtenemos fácilmente que la parte real

U

$U$ de

ψ

$\psi$ satisface la siguiente ecuación de segundo orden

\frac{\partial^{2} tu}{\partial t^{2}} = - \frac{ℏ^{2}}{4 {metro}^{2}} \frac{\partial^{4} tu}{\partial X^{4}} + \frac{W}{metro} \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} + \frac{W^{'}}{metro} \frac{\partial tu}{\partial X} + (\frac{W^{″}}{2 metro} - \frac{W^{2}}{ℏ^{2}}) tu .

$\begin{equation} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = - \frac{\hbar^2}{4 m^2} \frac{\partial^4 U}{\partial x^4}+ \frac{W}{m} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} +\frac{W’}{m} \frac{\partial U}{\partial x} + \left( \frac{W’’}{2m} - \frac{W^2}{\hbar^2} \right) U . \end{equation}$ Ahora bien, a la propiedad (3) se le puede dar la siguiente interpretación: si

U

$U$ es la solución correspondiente al potencial

W (x)

$W(x)$ y dadas las condiciones iniciales, y

\tilde{U}

$\tilde{U}$ es el correspondiente a las mismas condiciones iniciales y al potencial

W (x) + W_{0}

$W(x)+W_0$ , donde

W_{0}

$W_0$ es una constante, entonces

P (x, t)

$P(x,t)$ debe ser la misma función cuando se calcula para

U

$U$ y

\tilde{U}

$\tilde{U}$ . Dudo que tal función de probabilidad

p

$p$ existe, y tal vez este sea el núcleo de la declaración de Bohm. Al usar esta idea, he dado una interpretación matemática alternativa de la declaración de Bohm en la publicación Corriente conservada para una PDE .

NOTA 3). Véase también mi publicación relacionada Inexistencia de una probabilidad para la ecuación de Klein-Gordon , en la que esencialmente surge el mismo problema en un entorno relativista en relación con la conocida ecuación de Klein-Gordon. En el otro post mío Unicidad de la Función de Probabilidad para la Ecuación de Schrödinger se discute un problema análogo con respecto a la ecuación de Schrödinger. Presumiblemente, Bohm tenía en mente la misma herramienta matemática para lidiar con estos tres problemas.

biofísico

Bueno, ¿qué has intentado hacer hasta ahora?

Mauricio Barbato

Estimado Aaron, no tengo idea de un posible argumento, también porque mi intuición sugiere que la afirmación es falsa. Publiqué el tema aquí porque, habiendo sido muy popular el libro de Bohm, pensé que alguien había estudiado estos temas antes.

biofísico

Desafortunadamente, esta no es mi área de especialización, por eso pregunté. No sé por qué pensarías que es falso, pero entendería si dijeras que la declaración parece no tener prueba en general. Supongo que lo que tendrías que hacer para probar esto es escribir una función general de

U

$U$ y sus derivadas parciales, y luego mostrar que obtenemos resultados absurdos usando esta función general. ¿Quizás esta podría ser una buena pregunta en el sitio de intercambio de pilas de matemáticas si la enmarcara de la manera correcta?

Respuestas (3)

Inexistencia de una probabilidad para ecuaciones de ondas reales

Estimado Aaron, no tengo idea de un posible argumento, también porque mi intuición sugiere que la afirmación es falsa. Publiqué el tema aquí porque, habiendo sido muy popular el libro de Bohm, pensé que alguien había estudiado estos temas antes.
Desafortunadamente, esta no es mi área de especialización, por eso pregunté. No sé por qué pensarías que es falso, pero entendería si dijeras que la declaración parece no tener prueba en general. Supongo que lo que tendrías que hacer para probar esto es escribir una función general de $U$ y sus derivadas parciales, y luego mostrar que obtenemos resultados absurdos usando esta función general. ¿Quizás esta podría ser una buena pregunta en el sitio de intercambio de pilas de matemáticas si la enmarcara de la manera correcta?

ajmeteli · Answer 1

Parece que la prueba de Bohm trata con una partícula libre, lo cual no es muy realista. Sin embargo, si considera la ecuación de Schrödinger o Klein-Gordon, digamos, en el campo electromagnético, puede hacer que la función de onda sea real mediante una transformación de calibre (al menos localmente), como lo notó Schrödinger en Nature (1952), v.169, pág.538. Solo una función real también puede ser suficiente para el caso de la ecuación de Dirac en el campo electromagnético, como se muestra en mi artículo en J. Math. física

Mauricio Barbato · Answer 2

Mauricio Barbato

Después de una larga búsqueda en la literatura debo concluir que la cuestión planteada por Bohm no ha suscitado ningún interés, quizás porque nunca nadie ha albergado alguna duda sobre la imposibilidad de construir mecánica cuántica con una función de onda real.

Traté de dar dos formulaciones matemáticas precisas de la declaración de inexistencia de Bohm en mi publicación Corriente conservada para una PDE , pero, como argumenté en mi respuesta allí, ninguna de las dos parece ser una traducción matemática fiel de las declaraciones físicas de Bohm.

Tal vez, nunca sabremos qué argumento físico y matemático tenía Bohm en mente, no si realmente tenía uno. Quizá podría haber citado sin vacilar en su libro algún comentario de RJ Oppenheimer (cuyas conferencias en la Universidad de California en Berkeley inspiraron gran parte del tratado de Bohm) o simplemente enunció algo que consideró intuitivamente evidente sin preocuparse por una posible demostración. No podemos saber cómo funciona la mente de un genio... ¡y David Bohm era un genio absoluto!

biofísico

Supongo que no ha ganado mucho interés porque no hay ninguna recompensa por probar o refutar esto. Las funciones de onda complejas funcionan muy bien, y no es como si tuviéramos ningún problema al usarlas donde solo se necesita tener funciones de onda reales.

Mauricio Barbato

Bueno, tal vez tengas razón... pero debes admitir que es al menos un hecho extraño que tengas que manejar cantidades complejas en la mecánica cuántica, una situación completamente diferente a la de todas las teorías físicas anteriores, donde se introdujeron cantidades complejas. solo como trucos matemáticos para resolver algunos problemas específicos o para tener notaciones más compactas. Creo que este tipo de sentimiento empujó a Bohm a explorar la posibilidad de descartar funciones de onda complejas en favor de las reales.

biofísico

Sí... QM es raro :) jaja

AtmosféricoPrisiónEscape

Estoy de acuerdo con su declaración @MaurizioBarbato, en que a menudo se escucha "QM es necesariamente complejo, no solo es útil" y no puedo recordar una buena razón de la conferencia para que sea así.

Mauricio Barbato

@AtmosphericPrisonEscape Sí, este problema fundamental se ha pasado por alto por completo como muchos otros. Creo que este es el efecto de la forma abstracta de pensar que se hizo cada vez más frecuente en la física del siglo XX (y esta tendencia continúa sin restricciones en la actualidad). Le da a QM y teorías posteriores un sabor completamente diferente con respecto a teorías clásicas como la Mecánica de Galilei y Newton o la teoría Electromagnética de Faraday y Maxwell.

Mauricio Barbato

En este sentido, Bohm fue un gigante entre gigantes. Hizo un gran esfuerzo para investigar el significado físico de cada parte del formalismo matemático introducido y su papel en toda la arquitectura conceptual de QM. Dio por sentado que una teoría física no puede ser simplemente una lista de axiomas o reglas, sino que antes que nada está definida por un conjunto de conceptos cuidadosamente definidos y claramente interrelacionados entre sí. En mi humilde opinión, esta es la razón por la que el tratado de Bohm sigue siendo hoy en día una lectura fundamental para todo físico que quiera entender realmente qué es QM.

probablemente_alguien

@AtmosphericPrisonEscape Depende de lo que quiera decir con "necesariamente complejo". Dado que existe una representación matricial de los números complejos que solo involucra números reales, podría hacer todo en QM sin ver nunca un

i

$i$ si querías. Dicho esto, el requisito de usar grupos con suficiente estructura para ser representados de manera no trivial usando números complejos es bastante fundamental. Por ejemplo, si desea describir rotaciones infinitesimales, deben vivir en

S U (2)

$SU(2)$ , que casi siempre se representa usando matrices complejas de 2x2 porque las matrices reales de 4x4 son engorrosas.

Mauricio Barbato

@probably_someone Está fuera de discusión que todas las estructuras matemáticas relevantes de QM son complejas. ¡Solo en una forma de pensar muy formalista podemos reducir los números complejos a su definición formal como pares ordenados de números reales con reglas algebraicas dadas de composición!

probablemente_alguien

@MaurizioBarbato No estoy hablando de ningún tipo de "definición formal como pares ordenados de números reales con reglas algebraicas de composición dadas". Estoy hablando del hecho de que cualquier número complejo

a + b i

$a+bi$ se comporta de forma idéntica a la matriz 2x2

[\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}$ . No se requieren reglas de composición especiales, solo la multiplicación de matrices ordinaria.

Mauricio Barbato

@probably_someone Sí, pero simplemente estás describiendo la misma estructura matemática con una representación diferente. ¿Cuál es la ganancia?

probablemente_alguien

@MaurizioBarbato Por lo que entendí, su objeción fue el uso de números complejos para describir QM. Esta representación de

U (1)

$U(1)$ evita los números complejos por completo. Pero ahora no estoy seguro, porque parece estar objetando el hecho de que QM funciona de una manera que exige una estructura que se representa más fácilmente con números complejos. Esta complejidad no desaparece en la mecánica de Bohm, simplemente está oculta en los detalles de la no localidad de las interacciones, en lugar de explicitarse en la necesidad de funciones de onda no necesariamente reales.

Mauricio Barbato

@probably_someone Mi interés en este tema es puramente matemático. Me pregunto cómo Bohm pudo hacer una declaración tan general. Estoy bastante convencido de que tenía en mente alguna técnica matemática precisa para tratar este interesante problema matemático de encontrar una carga conservada para la PDE dada que tuviera las propiedades requeridas.

probablemente_alguien

@MaurizioBarbato Dicho de manera más correcta, cuando decimos "la función de onda debe ser compleja", en realidad queremos decir que "la función de onda debe tener suficiente estructura para representarse de manera no trivial como compleja". La complejidad de QM es un hecho de la estructura del grupo , independiente de su elección de representación.

probablemente_alguien

@MaurizioBarbato Si eso es cierto, entonces debe abstenerse de decir cosas como "Está fuera de duda que todas las estructuras matemáticas relevantes de QM son complejas".

Mauricio Barbato · Answer 3

Después de haber pensado en esta pregunta durante mucho tiempo, he llegado a la conclusión de que lo que Bohm realmente quiso decir debe ser mucho más simple de lo que había conjeturado en mis especulaciones anteriores.

Ya comenté en mi NOTA (2) a la publicación que el resultado de imposibilidad establecido por Bohm es trivial si asumimos la Propiedad (4) en la forma que se da allí. En realidad, ahora me he dado cuenta de que aunque asumimos una especie de "forma débil" de esa propiedad, aún podemos probar el "teorema" de imposibilidad de Bohm. Más precisamente, mostraré en esta respuesta que bajo el supuesto de que $p(X_1,\dots,X_{2d+2})$ es un polinomio tal que $p(0,\dots,0)=0$ , si $P(x,y)=p \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right)$ es independiente de $\omega$ para la solución especial

tu (X, t) = porque (\sqrt{\frac{2 metro ω}{ℏ}} X - ω t),

$\begin{equation} U(x,t)= \cos\left(\sqrt{\frac{2m \omega}{\hbar}}x-\omega t \right), \end{equation}$ entonces debemos tener eso

(x, t) \mapsto P (x, t)

$(x,t) \mapsto P(x,t)$ es idénticamente igual a cero. ahora desde

P

$P$ debe tener el significado de una densidad de probabilidad, una densidad de probabilidad cero en todas partes para una función de onda distinta de cero no es físicamente aceptable, lo que prueba el resultado de imposibilidad de Bohm. Nótese que la suposición de que

p (0, \dots, 0) = 0

$p(0,\dots,0)=0$ es muy natural ya que simplemente dice que para una función de onda localmente cero la densidad de probabilidad debe ser cero. Nótese también que la suposición de que

p (X_{1}, \dots, X_{2 d + 2})

$p(X_1,\dots,X_{2d+2})$ es un polinomio también es bastante natural ya que estamos buscando cantidades conservadas con una expresión "simple".

Ahora la prueba. Para mayor comodidad escribiremos $\omega$ como una función de $k$ , en lugar de hacer lo contrario como hicimos en el post. Entonces escribimos nuestra solución especial como

tu (X, t) = porque (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t),

$\begin{equation} U(x,t)= \cos\left(kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t \right), \end{equation}$ Primero mostramos que, para esta solución, bajo nuestros supuestos, el mapa

(x, t) \mapsto P (x, t)

$(x,t) \mapsto P(x,t)$ debe ser una constante. La propiedad (3) es equivalente, así que digamos que

P (x, t)

$P(x,t)$ es independiente de

k > 0

$k > 0$ para cada

(x, t) \in R^{2}

$(x,t) \in \mathbb{R}^2$ . Ahora, para la solución especial

U (x, t)

$U(x,t)$ considerado, tenemos que

P (x, t) = F (x - v t)

$P(x,t)=F(x-vt)$ para alguna funcion

F

$F$ , donde

v = \frac{ℏ k}{2 m}

$v=\frac{\hbar k}{2m}$ . Si tuvieramos

F^{'} (ξ) \neq 0

$F'(\xi)\neq 0$ para algunos

ξ \in R

$\xi \in \mathbb{R}$ , obtendríamos por

x - v t = ξ

$x-vt=\xi$ :

\frac{\partial PAG}{\partial t} (X, t) / \frac{\partial PAG}{\partial X} (X, t) = - v = \frac{ℏ k}{2 metro},

$\begin{equation} \left. \frac{\partial P}{\partial t}(x,t) \middle/ \frac{\partial P}{\partial x}(x,t) \right. = -v = \frac{\hbar k}{2m}, \end{equation}$ una contradicción

Así que para alguna constante $c \in \mathbb{R}$ tenemos $P(x,t)=c$ para todos $k > 0$ y todo $(x,y) \in \mathbb{R^2}$ . Puesto por facilidad de notación $y=kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t$ . Tenga en cuenta que $P(x,t)$ es un polinomio en $\sin y$ , $\cos y$ y $k$ . Por reemplazo $\cos^2 y$ por $1-\sin^2 y$ , $\cos^4 y$ por $(1-\sin^2 y)^2$ , ... y $\cos^3 y$ por $(1-\sin^2 y)\cos y$ , $\cos^5 y$ por $(1-\sin^2 y)^2 \cos y$ , ..., entendemos que

PAG (X, t) = \sum_{yo = 0}^{L} a_{yo} (k) {pecado}^{yo} (y) + porque (y) \sum_{norte = 0}^{norte} b_{norte} (k) {pecado}^{norte} (y),

$\begin{equation} P(x,t)= \sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(y) + \cos(y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y), \end{equation}$ donde

a_{l} (k)

$a_l(k)$ y

b_{n} (k)

$b_n(k)$ son polinomios en

k

$k$ . fija un valor de

k

$k$ . Ya que

P (x, t)

$P(x,t)$ es constante para cualquier

(x, t)

$(x,t)$ , obtenemos para cualquier valor de

y

$y$ :

\sum_{yo = 0}^{L} a_{yo} (k) {pecado}^{yo} (y) + porque (y) \sum_{norte = 0}^{norte} b_{norte} (k) {pecado}^{norte} (y) = = \sum_{yo = 0}^{L} a_{yo} (k) {pecado}^{yo} (π - y) + porque (π - y) \sum_{norte = 0}^{norte} b_{norte} (k) {pecado}^{norte} (π - y),

$\begin{equation} \sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(y) + \cos(y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y) = \\ = \sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(\pi-y) + \cos(\pi-y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(\pi-y), \end{equation}$ así que eso

porque (y) \sum_{norte = 0}^{norte} b_{norte} (k) {pecado}^{norte} (y) = 0,

$\begin{equation} \cos(y) \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y)=0, \end{equation}$ lo que implica que para cualquier

y \neq \frac{π}{2} + r π

$y \neq \frac{\pi}{2} + r \pi$ , con

r

$r$ entero, tenemos

\sum_{norte = 0}^{norte} b_{norte} (k) {pecado}^{norte} (y) = 0,

$\begin{equation} \sum_{n=0}^{N} b_n(k) \sin^n(y)=0, \end{equation}$ para que el polinomio

Q (z) = \sum_{n = 0}^{N} b_{n} (k) z^{n} = 0

$Q(z)= \sum_{n=0}^{N} b_n(k) z^n=0$ admite infinitos ceros. Concluimos que

b_{0} (k) = \dots = b_{N} (k) = 0

$b_0(k)=\dots=b_N(k)=0$ . Pero entonces

C = PAG (X, t) = \sum_{yo = 0}^{L} a_{yo} (k) {pecado}^{yo} (y),

$\begin{equation} c=P(x,t)=\sum_{l=0}^{L} a_l(k) \sin^l(y), \end{equation}$ y ahora el polinomio

R (z) = - c + \sum_{l = 0}^{L} a_{l} (k) z^{l}

$R(z)=- c + \sum_{l=0}^{L} a_l(k) z^l$ tiene infinitos ceros, lo que implica

a_{1} (k) = \dots = a_{L} (k) = 0

$a_1(k)=\dots=a_L(k)=0$ y

a_{0} (k) = c

$a_0(k)=c$ . pero tenemos

a_{0} (k) = p (0, \dots, 0) = 0

$a_0(k)=p(0,\dots,0)=0$ , por lo que concluimos que

c = 0

$c=0$ . QED

Ahora que terminé la prueba, me doy cuenta de que se puede dar una prueba mucho más simple, que en realidad se puede usar para obtener un resultado mucho más general.

Teorema Sea $p:\mathbb{R}^{2d+2} \rightarrow \mathbb{R}$ Sea una función continua tal que $p(\mathbf{0})=0$ . Dejar

tu (X, t) = porque (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t),

$\begin{equation} U(x,t)= \cos\left(kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t \right), \end{equation}$ y definir la cantidad

PAG (X, y) = pag ((D_{X}^{d} tu) (X, t), (D_{X}^{d} \frac{\partial tu}{\partial t}) (X, t)) .

$\begin{equation} P(x,y)=p \left((D_{x}^d U)(x,t), \left(D_{x}^{d} \frac{\partial U}{\partial t}\right)(x,t) \right). \end{equation}$ Suponga que para cada

(x, t) \in R^{2}

$(x,t) \in \mathbb{R}^2$

P (x, t)

$P(x,t)$ es independiente de

k > 0

$k > 0$ . Entonces nosotros tenemos

P (x, t) = 0

$P(x,t)=0$ para todos

(x, t) \in R^{2}

$(x,t) \in \mathbb{R}^2$ .

Prueba En primer lugar, notemos que bajo nuestras suposiciones $(x,t) \mapsto P(x,t)$ es un mapa constante. En efecto, dada la forma de $U(x,t)$ , tenemos $P(x,t)=F(x-vt)$ para alguna función continua $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , donde $v=\frac{\hbar k}{2m}$ como anteriormente. Ahora, para cualquier dado $t > 0$ , El valor de $P(0,t)=F(-vt)$ no depende de $k > 0$ , para que consigamos eso $F$ es constante en $[0,\infty)$ . Por el mismo argumento con ahora $t < 0$ , deducimos que $F$ es constante en $(-\infty, 0]$ . Por lo tanto $F$ es constante en $\mathbb{R}$ , de modo que para algunos $c \in \mathbb{R}$ , tenemos $P(x,t)= c$ para todos $(x,t) \in \mathbb{R}^2$ . Ahora, para cualquier valor fijo de $k > 0$ , seleccionando valores de $(x,t)$ tal que $kx- \frac{\hbar k^2}{2m} t = \frac{\pi}{2}$ , obtenemos

pag (0, - k, 0, k^{3}, \dots, 0, (- 1)^{r} k^{2 r - 1}, \frac{ℏ k^{2}}{2 metro}, 0, - \frac{ℏ k^{4}}{2 metro}, 0, \dots, (- 1)^{r - 1} \frac{ℏ k^{2 r}}{2 metro}, 0) = C

$\begin{equation} p\left(0,-k,0,k^3,\dots,0,(-1)^r k^{2r-1},\frac{\hbar k^2}{2m},0,-\frac{\hbar k^4}{2m},0,\dots,(-1)^{r-1}\frac{\hbar k^{2r}}{2m},0\right)=c \end{equation}$ cuándo

d = 2 r - 1

$d=2r-1$ es raro, y

pag (0, - k, 0, k^{3}, \dots, 0, (- 1)^{r} k^{2 r - 1}, 0, \frac{ℏ k^{2}}{2 metro}, 0, - \frac{ℏ k^{4}}{2 metro}, 0, \dots, (- 1)^{r - 1} \frac{ℏ k^{2 r}}{2 metro}, 0, (- 1)^{r} \frac{ℏ k^{2 r + 2}}{2 metro}) = C

$\begin{equation} p\left(0,-k,0,k^3,\dots,0,(-1)^r k^{2r-1},0,\frac{\hbar k^2}{2m},0,-\frac{\hbar k^4}{2m},0,\dots,(-1)^{r-1}\frac{\hbar k^{2r}}{2m},0,(-1)^{r}\frac{\hbar k^{2r+2}}{2m}\right)=c \end{equation}$ cuando

d = 2 r

$d=2r$ incluso. Tomando el límite de las expresiones anteriores como

k \to 0

$k \rightarrow 0$ , obtenemos en ambos casos

c = 0

$c=0$ . QED

Creo que este resultado tan simple es lo que Bohm debería tener en mente cuando hizo su declaración. En realidad, pertenece al tipo de consideraciones heurísticas que guían a los físicos en su búsqueda de la ley física correcta de un nuevo fenómeno cuando no se dispone de una teoría clara, y este era exactamente el caso a principios del siglo XX cuando nació la mecánica cuántica. . Bohm en su fantástico libro intentó replicar exactamente el proceso del descubrimiento de las leyes cuánticas, porque estaba absolutamente convencido de que solo especulando sobre los posibles caminos que uno puede tomar para desarrollar la mecánica cuántica, podemos desarrollar una verdadera familiaridad con este extraño y poco intuitivo. teoría y realmente podemos tratar de entender el significado físico de los conceptos escondidos detrás de sus formalismos matemáticos abstractos.

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