¿Qué significa realmente la ecuación de Schrödinger?

Este es un enfoque bastante básico adecuado para estudiantes que han terminado al menos un semestre de introducción a la mecánica newtoniana, están familiarizados con las ondas (incluida la representación exponencial compleja) y han oído hablar del hamiltoniano a un nivel en el que$H = T + V$. Por lo que yo entiendo, no tiene relación con el enfoque histórico de Schrödinger.

Aceptemos el desafío de Debye para encontrar la ecuación de onda que va con las ondas de De Broglie (restringiéndonos a una dimensión simplemente para mayor claridad).

Como estamos buscando una ecuación de onda supondremos que las soluciones tienen la forma

Ahora es una observación interesante que podemos obtener la frecuencia angular$\omega$de (1) con una derivada temporal y también un número de onda$k$con una derivada espacial. Si simplemente definimos los operadores ¹

Ahora, el hamiltoniano para una partícula de masa$m$moviéndose en un campo de potencial fijo$V(x)$es$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$, y debido a que esta situación no tiene una dependencia explícita con el tiempo podemos identificar el hamiltoniano con la energía total del sistema$H = E$. Expandiendo esa identidad en términos de los operadores anteriores (y aplicándola a la función de onda, porque los operadores tienen que actuar sobre algo) obtenemos

Así que la motivación aquí es

1. Escribe una ecuación de onda.
2. Haz que la energía y el impulso tengan las formas de De Broglie, y
3. Requiere conservación de energía

pero esto no se parece en nada a una prueba porque el paso de la variable a los operadores se saca de un sombrero.

Como beneficio adicional, si usa el cuadrado del hamiltoniano relativista para una partícula libre$(pc)^2 - (mc^2)^2 = E^2$este método también conduce naturalmente a la ecuación de Klein-Gordon.

¹ En lenguaje muy rudimentario, un operador es un objeto matemático similar a una función que toma una función como argumento y devuelve otra función. Las derivadas parciales obviamente califican en este frente, pero también lo hacen los factores multiplicativos simples: porque multiplicar una función por algún factor da como resultado otra función.

Seguimos una convención de notación común al denotar objetos que deben entenderse como operadores con sombrero, pero dejando el sombrero fuera de las formas explícitas.

Me gusta la respuesta de @Simon, pero mi método favorito personal para "derivar" la ecuación de Schrödinger es este.

Piense en el estado cuántico como si codificara alguna información sobre su sistema. Es decir, alguna versión cuántica de una distribución de probabilidad definida en un espacio vectorial (espacio de Hilbert).

¿Qué queremos de una distribución de probabilidad significativa? Primero, siempre debe normalizarse para que los resultados mutuamente excluyentes sumen una probabilidad de 1. Segundo, queremos que todas las probabilidades correspondientes a estos resultados sean siempre positivas o al menos 0. La forma más general de un operador de evolución temporal es decir decir un operador que actúa en su estado en el momento$t_0$lo lleva a$t_1$es el llamado mapa de conservación de trazas completamente positivo - http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation

Esto significa esencialmente que el mapa cumple con todos los requisitos que mencioné (hay algunas sutilezas, pero llevará más tiempo explicarlas).

Ahora, podemos preguntarnos ¿qué tipo de ecuación dinámica corresponde a este mapa? Queremos que la ecuación sea markoviana, que sea local en el tiempo para que el sistema no dependa de lo que sucedió hace mucho tiempo porque esto violaría la localidad en algún sentido.

Lindblad ha demostrado que la forma más general de tal ecuación es,

dónde$\rho$es el estado,$H$es el hamiltoniano,$h_{m,n}$son algunas tarifas y el$L_m$son los llamados operadores de Lindblad que pueden ser cualquier operador.

Sin embargo, como han demostrado Banks, Susskind y Peskin - http://adsabs.harvard.edu/abs/1984NuPhB.244..125B

este tipo de ecuación viola la conservación de la energía o la localidad a menos que todos$h_{m,n}$son cero. Si viola la conservación de la energía, no puede describir un sistema cerrado que sea invariable con respecto a los cambios en el tiempo. Por lo tanto, los ponemos a 0 y obtenemos justo,

que es la ecuación de von Neumann, que se reduce a la ecuación de Schrödinger para estados puros,$\rho=|\psi \rangle \langle \psi|$

Es sinónimo de dinámica de partículas cuánticas extrañas que se pueden expresar como una onda.$\psi$. Dado que la teoría cuántica es fundamentalmente probabilística, debemos escribir el hamiltoniano clásico en valores esperados:

En mecánica cuántica usamos diferentes operadores que actúan sobre el estado$\psi$

[ NOTA : si te atreves, puedes derivar expresiones previas con métodos de Fourier y suposiciones menores, pero generalmente las damos por sentadas ya que la ecuación de Schrödinger es un postulado fundamental en física]

Después de usar el lema variacional obtienes:

Para comprender la ecuación de Schrödinger, debe saber cuál es el vector de estado http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state . Antes de medir el sistema, su estado podría ser cualquier combinación lineal de vectores propios. La probabilidad del valor observado es el cuadrado del coeficiente (también llamado función de onda) del vector propio correspondiente.

Cuando el estado cambia con el tiempo, podemos aplicar un operador U al vector de estado, de la misma manera que obtenemos el operador de momento angular rotando el vector de estado. De acuerdo con la conservación de la información, los vectores propios no se pueden mezclar, por lo que el producto interno se conserva y U es un vector unitario. Suponga que U = I - iεH, I es el operador de identidad, ε es un número pequeño, luego puede derivar la ecuación de Schordinger mediante la expansión de Taylor.

En una palabra, la ecuación de Schordinger se usa para describir cómo cambia el estado del sistema con el tiempo, y el operador de Hamilton es responsable del cambio.

Lo siento por las palabras poco claras, se suponía que debía derivar la ecuación para ti, pero, ¡qué vergüenza! No sé cómo usar LaTex o MathJax. Pero estoy trabajando en ello.

La ecuación de Schrödinger proporciona el espacio de energía definido que puede ocupar un electrón dentro de una capa en el átomo. La función de onda, una de sus variables, en realidad da la ubicación probable de un electrón en el espacio.