Derivación variacional de la ecuación de Schrödinger

Al leer Calculus of Variations de Weinstock , en las páginas 261 - 262 , explica cómo Schrödinger aparentemente derivó por primera vez la ecuación de Schrödinger a partir de principios variacionales.

Desafortunadamente, no creo que se muestre la página 262, así que explicaré la esencia:

"En su trabajo inicial" considera la ecuación reducida de Hamilton-Jacobi

$$\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2\right] \ + \ V(x,y,z) \ - \ E \ = \ 0$$

para una sola partícula de masa$m$en un campo de fuerza arbitrario descrito por un potencial$V = V(x,y,z)$.

Con un cambio de variables$S \ = \ K\log(\Psi)$, (dónde$K$resultará ser$\hbar=h/2\pi$) se reduce a

$$\frac{K^2}{2m}\left[\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial z}\right)^2\right] \ + \ (V \ - \ E)\Psi^2 \ = 0.$$

Ahora, en lugar de resolver esto, al azar desde mi punto de vista, eligió integrar sobre el espacio

$$I = \iiint_\mathcal{V}\left(\frac{K^2}{2m}\left[\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)^2 \ + \ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial z}\right)^2\right] + (V - E)\Psi^2\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$$

entonces Weinstock extremiza esta integral lo que nos da la ecuación de Schrödinger.

Aparentemente, como afirma el libro en la página 264, fue solo después de esta derivación que buscó conectar su idea con la dualidad onda-partícula de DeBroglie.

Por lo tanto, tengo tres preguntas,

1) ¿Cuál es la justificación de la famosa cita de Feynman:

¿De dónde sacamos esa [ecuación de Schrödinger]? No es posible derivarlo de nada que sepas. Salió de la mente de Schrödinger. Las conferencias de Feynman sobre física

a la luz de la derivación anterior. Observo que todas las derivaciones que he visto de la ecuación de Schrödinger hacen algo así como usar operadores como$i\hbar\partial/\partial t = E$para derivarlo siempre mencione que es meramente heurístico, sin embargo, lo que Schrodinger aparentemente hizo originalmente parece una forma indirecta de resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi sin heurística a la vista. ¿Qué sutilezas me estoy perdiendo aquí? ¿Por qué sería un tonto al 'corregir' arrogantemente a alguien que dice que Schrödinger no se puede derivar de nada de lo que sabes?

Tenga en cuenta que he leído un montón de hilos sobre este tema en este foro y ninguno se acerca al cálculo de variaciones, de hecho, lo anterior contradice esta explicación aquí que incluso se refiere a la conferencia del premio Nobel de Schrödinger, así que espero que no sea un duplicado.

2) ¿El truco matemático que Schrodinger ha usado es algo que puedes usar para resolver problemas?

3) ¿Por qué no puedes usar esta derivación exacta en el caso relativista?

Editar: Sobre el tema de los números complejos:

En la página 276, 14 páginas después de que explica lo que publiqué, y después de explicar cómo Schrodinger vinculó su trabajo con el trabajo de DeBroglie, solo entonces Weinstock dice:

En un estudio más completo de la mecánica cuántica que el presente, la admisibilidad de funciones propias complejas$\Psi$generalmente se muestra que es necesario. Si$\Psi$es complejo, la cantidad$|\Psi|^2$se emplea como la función de densidad de probabilidad de posición en la medida en que$\Psi^2$no está restringida a valores reales no negativos.

Aparentemente, Schrodinger pudo hacer lo que publiqué usando funciones de valor real y tener K como lo definí, sin i. Si está siguiendo lo que dice Weinstock, muestra cómo los niveles de energía del átomo de hidrógeno se pueden explicar sin números complejos, es decir, puede derivar una interpretación física de los valores propios (niveles de energía discretos) de la ecuación de Schrödinger que estaban de acuerdo con el experimento. (ver Apartado 11.3 Página 279 en adelante). Por lo que yo entiendo, es al tratar de encontrar una interpretación física de las funciones propias que uno se ve obligado a entrar en números complejos, aunque aparentemente, según el libro, puede demostrarse que es necesario. ¡Eso es algo a tener en cuenta!