Función de onda no compleja

Está buscando una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como su$\psi(x)$no tiene ninguna dependencia del tiempo, y las soluciones básicas de la ecuación independiente del tiempo a menudo pueden ser reales. Las combinaciones lineales de estas soluciones básicas pueden ser complejas.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo son siempre combinaciones lineales de la forma

$$\Psi(x,t)=\sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar} \psi_n(x)$$ y será complejo incluso si las funciones independientes del tiempo $\psi_n(x)$Son reales.

relacionarse$a$a la relación de incertidumbre que necesitarías calcular$\Delta x^2$y$\Delta p^2$usando tu$\psi(x)$(que tendrás que normalizar) y encontrar cómo$a$entra en el producto$\Delta x\Delta p$.

Para darte una pista, incluyo la trama de$\psi(x)^2$para$a=1$(negro),$a=2$(azul) y$a=1/2$(rojo).

Tienes razón, la función de onda "real" para una partícula es una función compleja$\Psi(\vec{x}, t)$, que sigue la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

$$i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec{x}, t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(\vec{x}, t)$$ Dónde $\hat{H}$es el operador hamiltoniano que da la energía total del sistema, compuesta por la energía cinética y la energía potencial, que viene dada por la función de energía potencial $V(\vec{x}, t)$: $$\hat{H}\Psi(\vec{x}, t) := -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\vec{x}, t) + V(\vec{x}, t)\Psi(\vec{x}, t)$$ Si la función de energía potencial es realmente una función tanto del tiempo como de la posición, esta ecuación se vuelve muy difícil de resolver. Afortunadamente, sin embargo, la energía potencial casi siempre solo depende de la posición y, por lo tanto, se convierte en una función más simple. $V(\vec{x})$. En ese caso, la ecuación de Schrödinger se puede resolver asumiendo la función de onda $\Psi(\vec{x}, t)$ser un producto simple de una función $\psi(\vec{x})$depende únicamente de la posición y una función $f(t)$eso solo depende del tiempo: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})f(t)$$ Entonces somos capaces de separar las partes de la ecuación que dependen de la posición y el tiempo y a partir de eso encontrar que $f(t)$tiene que ser igual a $e^{-iEt/\hbar}$, dónde $E$es una constante real (que se puede demostrar que es la energía de la partícula). Además, $\psi(\vec{x})$debe seguir la llamada ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: $$E\psi(\vec{x}) = \hat{H}\psi(\vec{x})$$ dónde $E$es la misma constante. Se puede probar que $\psi(\vec{x})$siempre puede tomarse como una función real (es decir, si tiene una solución para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que no siempre es real, siempre puede expresarla como una combinación lineal de las que lo son. No significa que toda solución tiene que ser necesariamente real.). Entonces nosotros tenemos: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})e^{-iEt/\hbar}$$ Recuerde, que esto es sólo bajo la suposición de que $\Psi(\vec{x}, t)$PUEDE escribirse como tal producto. Sin embargo, todas las demás soluciones pueden expresarse como combinaciones lineales de estas soluciones simples independientes del tiempo, como ya señaló Zero.

Su pregunta supone una función de onda independiente del tiempo que es igual a

$$\psi(x) = Ae^{-\alpha x^2}$$ (Esta es una función unidimensional, así que dejo la flecha apagada) Por lo tanto, la función de onda dependiente del tiempo que conoces sería $$\Psi(x, t) = Ae^{-\alpha x^2}e^{-iEt/\hbar}$$ Encontrar $E$, se puede aplicar la ecuación de Schrödinger: $$EAe^{-\alpha x^2} = \hat{H}(Ae^{-\alpha x^2})$$ (Sin embargo, necesitaría saber la función de energía potencial que usó para derivar esa función de onda)