¿Es posible formular la ecuación de Schrödinger de manera que excluya los números imaginarios? [duplicar]

Puede eliminar fácilmente todas las referencias a números complejos de una manera bastante trivial, aunque al hacerlo se obtienen expresiones mucho menos elegantes desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, podría elegir trabajar en base a la posición y, en lugar de usar una función de onda de valor complejo que asigna un número complejo a cada punto en el espacio de configuración, podría usar una función de onda con dos componentes reales, es decir, que asigna un par ordenado de numeros reales$\vec{\psi}(\{\vec{x}_i\})$a cada punto en el espacio de configuración. Multiplicación por$i$(por ejemplo, en la ecuación de Schrödinger y en las relaciones canónicas de conmutación) sería reemplazada por una aplicación de la matriz ortogonal

$$\hat{O} := \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),$$ que gira el "vector" $\vec{\psi}$en 90 grados en sentido antihorario. Entonces la ecuación de Schrödinger se convertiría en $\hat{H} \vec{\psi} = \hbar\, \hat{O}\, d\vec{\psi}/dt$(en la base de la posición). Pero sería mucho más complicado hacer cosas como cambiar la base.

De hecho, esto es exactamente lo que hacen todos los algoritmos computacionales "debajo del capó": las computadoras representan internamente números complejos como pares ordenados de números reales, y todas las operaciones de números complejos se convierten en operaciones en pares de reales.

La Sección 4 de este artículo analiza algunas motivaciones de por qué podríamos esperar que una teoría como la mecánica cuántica se exprese de manera más natural usando números complejos (que es muy diferente de afirmar que solo se puede expresar usando números complejos). Básicamente, sería bueno si el campo de números que usamos fuera algebraicamente cerrado. La raíz cuadrada de un número complejo siempre es compleja, pero la raíz cuadrada de un número real no siempre es real. Sin embargo, el grupo$GL(2, \mathbb{R})$de$2 \times 2$Las matrices invertibles reales son algebraicamente cerradas, por lo que es tan bueno como los números complejos en ese sentido. (Nota para expertos y quisquillosos: estoy pasando por alto algunas sutilezas aquí, como el hecho de que$GL(2, \mathbb{R})$no es cerrado bajo suma y, por lo tanto, no es un campo, por lo que, estrictamente hablando, debería estar hablando de cierre bajo exponenciación en lugar de cierre algebraico).

Estoy bastante seguro de que el álgebra geométrica prescinde del imaginario de los números complejos i para la ecuación de Schrödinger: https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra

El "álgebra geométrica" ​​de Hestenes utiliza un álgebra de Clifford de valor real

Todavía ves i, I en las ecuaciones de álgebra geométrica, pero casi siempre son pseudoescalares

Los Pseudoescalares son el elemento de grado más alto del Álgebra Geométrica de una dimensión dada, no el imaginario de los números complejos como creo que muchos asumen sin conocer el formalismo GA

Los pseudoescalares tienen un cuadrado negativo para espacios euclidianos 2D y 3D y espacios Minkowski 4D que dan isomorfismos con números complejos en 2D, cuaterniones en 3D

El producto Pseudoescalar Geometric/Clifford con elementos de menor grado da el Dual