¿Hay alguna manera de demostrar que una función de onda de estado ligado siempre se puede elegir como real para un potencial arbitrario en mecánica cuántica?

I) Sí, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE) de la forma

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m} {\bf \nabla}^2 +V({\bf r}) -E \right) \psi({\bf r}) ~=~0$$ es $\mathbb{C}$-lineal e invariante $^1$bajo conjugación compleja. Entonces, si la función de onda $\psi$es una solución con norma cuadrada finita, entonces también lo será $\psi^{\ast}$, $$\frac{\psi+\psi^{\ast}}{2}\quad\text{and}\quad \frac{\psi-\psi^{\ast}}{2i}$$

ser. Las dos últimas son soluciones reales, y al menos una de ellas tiene una norma cuadrática distinta de cero si$\psi$tiene una norma cuadrada distinta de cero. Por lo tanto, siempre podemos elegir una solución normalizable para que sea real. Consulte también el Problema 2.1b en Griffiths, Introducción a QM, y esta publicación relacionada con Phys.SE.

II) Tenga en cuenta que el mismo argumento no se aplica a los estados de dispersión en el espectro continuo, ya que las condiciones de contorno en el infinito de$\psi^{\ast}$podría estar apagado.

Tampoco se aplica a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (TDSE).

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$^1$Aquí hemos usado implícitamente que el valor propio$E\in\mathbb{R}$es real porque el hamiltoniano$H$es autoadjunto. Tenga en cuenta que la autoadjunción por sí sola no es suficiente. P.ej

$$H~=~\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i} {\bf \nabla}-q {\bf A}({\bf r}) \right)^2 +V({\bf r})$$ es autoadjunto, pero el TISE correspondiente no es invariante bajo conjugación compleja.