Interpretación física de las diferencias entre la dinámica de conjuntos clásica y cuántica

Cosmas Zachos ya ha dado una buena respuesta. Señala correctamente que la función seno en el$\star$-el conmutador se origina a partir de la función exponencial en el$\star$-producto.

Pregunta: ¿Pero por qué la función exponencial, entonces?

Respuesta: Considere el siguiente ansatz$^1$Para el$\star$-producto:

$$\star~=~f\left( \stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} \right),\tag{1}$$ dónde $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$es una función general (suficientemente agradable). Queremos demostrar que $f$debe ser una función exponencial.

En la ec. (1) usamos la notación$\partial_I\equiv \frac{\partial}{\partial z^I}$, donde las coordenadas$z^I$son las variables del espacio de fase. Si

$$\alpha~=~\sum_I\alpha_I\mathrm{d}z^I\qquad\text{and}\qquad \beta~=~\sum_I\beta_J\mathrm{d}z^J\tag{2}$$ son de una sola forma, entonces la constante (= $z$-independiente) La estructura de Poisson es $$\alpha \wedge\beta~=~\sum_{IJ}\alpha_I\omega^{IJ}\beta_J ~\in~\mathbb{C}.\tag{3}$$

Ejercicio: Demuestra que

$$e^{\alpha\cdot z} \star e^{\beta\cdot z} ~=~f\left(\alpha \wedge\beta\right)e^{(\alpha+\beta)\cdot z}. \tag{4}$$

A continuación usamos que el$\star$-El producto debe ser asociativo . En particular, debe sostener que

$$\left(e^{\alpha\cdot z} \star e^{\beta\cdot z}\right)\star e^{\gamma\cdot z}~=~e^{\alpha\cdot z} \star \left(e^{\beta\cdot z}\star e^{\gamma\cdot z}\right). \tag{5}$$ ecuaciones (4) y (5) implican que $$f\left(\alpha \wedge\beta\right) f\left((\alpha+\beta) \wedge\gamma\right) ~=~f\left((\alpha\wedge(\beta+\gamma)\right) f\left(\beta\wedge\gamma\right), \tag{6}$$ o equivalente $$f(t)f(r+s)~=~f(t+s)f(r), \qquad r,s,t\in\mathbb{C}.\tag{7}$$ Ahora pon $t=0$: $$f(0)f(r+s)~=~f(s)f(r), \qquad r,s\in\mathbb{C}.\tag{8}$$ ¡Es bien sabido que las soluciones a la ecuación funcional (8) son las funciones exponenciales! (A la inversa, se puede demostrar que cada $\star$-producto en forma exponencial son asociativos.) Si además imponemos el principio de correspondencia $$\star~=~1 ~+~ \frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} ~+~ {\cal O}(\hbar^2) \tag{9}$$ entre la mecánica clásica y la cuántica, entonces el $\star$-el producto (1) está dado únicamente por la fórmula de Groenewold-Moyal $$\star~=~\exp\left(\frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial}\right).\tag{10}$$ $\Box$

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$^1$En esta respuesta consideramos solo constante (=$z$-independientes) (posiblemente degeneradas) estructuras de Poisson. Debemos enfatizar que incluso dentro de la clase de estructuras de Poisson constantes, existen muchas$\star$-productos que no están en forma exponencial y que no satisfacen el ansatz (1). Destaquemos también que para estructuras de Poisson no constantes, la forma exponencial de la$\star$-El producto no aplica de forma genérica. Para estas estructuras de Poisson más generales, se debe usar la cuantización de Fedosov o Kontsevich, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Francamente, estoy confundido en cuanto a por qué sospecha que tiene que revisar las interpretaciones de QM en esta imagen; pero sus dos preguntas circunscritas son respondibles.

1. Ninguna razón física, mera conveniencia matemática. Consulte las referencias 1 y 2. El seno proviene del hecho de que el producto estrella de Groenewold relevante es el exponencial del PB, una cuestión de coincidencia, integrado en el mapa de Wigner que lo lleva de los operadores espaciales de Hilbert a las variables de número c del espacio de fase. Bajo este mapa, el conmutador cuántico antisimetriza estas exponenciales en una función seno de PB. Pero otros productos estrella estrictamente matemáticamente equivalentes , como el de la imagen de Husimi (cf. ecuación (124) de la Ref. 1) corresponderán a paréntesis muy diferentes, en general más desordenados. Todos se expanden más allá del PB para$O(\hbar^2)$términos que incluyen las características de deformación estrictamente cuántica, que son solo poderes claros de la expansión sinusoidal para el producto Groenewold-Moyal... y horribles líos en (la mayoría) de la otra media docena de imágenes que conozco. Son estos términos los que especifican la desviación de la dinámica de los flujos clásicos, como puede notar en las entretenidas películas de Ref. 2, y dan a QM su característico sabor difusivo y comprimible.
2. $~\hbar$es un parámetro dimensional y, como tal, bimodal. Cualitativamente, hay dos casos: cero (clásico) y distinto de cero (QM). Por lo general, normaliza el área de celda de espacio de fase, o el PB, o... en entidades adimensionales. Es decir, observa sus efectos (QM) para variables$xp/\hbar$que no son enormes-gigantescos... efectos microscópicos donde$\hbar \partial_x \partial_p$no son infinitesimales; cuando tales variables de acción son enormes, como en una locomotora a alta velocidad o un mosquito, los efectos de corrección de la deformación QM normalmente son invisibles. El tamaño real de$\hbar$sólo importa en la escala de los objetos que caen en este ámbito cuántico microscópico. Se le puede invitar a visualizar un mundo de mayor$\hbar$, entonces un radio de Bohr más grande, átomos más grandes, etc. Las películas de WP se verían más o menos iguales. Se viola el teorema de Liouville .

Referencias:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie y Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. El archivo PDF está disponible aquí .
2. Artículo de WP .