¿Cuál es la razón intuitiva por la que el flujo del espacio de fases es incompresible en la Mecánica Clásica pero comprimible en la Mecánica Cuántica?

1. El llamado fallo (genérico) del teorema cuántico de Liouville , es decir, la violación (genérica) de la ecuación de continuidad

   $$\rho~{\rm div}_{\rho} X^Q_{-H} + \frac{\partial \rho}{\partial t}~\neq~0 \tag{1}$$ $$\begin{align}\Leftrightarrow\qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} ~\stackrel{(1)}{\neq}~&\rho~{\rm div}_{\rho} X^Q_H ~\stackrel{(6)+(7)}{=}~\rho~{\rm div}_{\rho} X_H \cr ~\stackrel{\text{Leibniz}}{=}& X_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} ~+~ \rho~\underbrace{ {\rm div}_1 X_H}_{=0}\end{align}\tag{2}$$ para el flujo cuántico en un$2n$-espacio de fase dimensional, puede entenderse intuitivamente como la aparición de operadores diferenciales de orden superior$X$en el$\star$-producto , que no obedece (necesariamente) la regla de Leibniz $$X[fg] ~\neq~X[f]g+f X[g] .\tag{3}$$

2. En la ec. (1) hemos definido el cuanto ($Q$) versión

   $$X^Q_H~:=~\frac{1}{i\hbar}[H\stackrel{\star}{,}\cdot] ~=~ \frac{2}{i\hbar}H\sinh\left(\frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial}\right) ~=~X_H + {\cal O}(\partial^3) \tag{4}$$ de un campo vectorial hamiltoniano $$X_H ~:=~ \{H, \cdot \}~=~H\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} .\tag{5}$$ Tenga en cuenta que los componentes de las coordenadas son los mismos $$X^Q_H[z^I]~\stackrel{(4)}{=}~X_H[z^I],\tag{6}$$ que es parte del problema. También en la ec. (1) por conveniencia hemos definido una divergencia $${\rm div}_{\rho} X~:=~ \rho^{-1}\frac{\partial(\rho X[z^I])}{\partial z^I}\tag{7}$$ de un operador diferencial posiblemente de orden superior$X$. ecuación (7) no es un objeto geométrico, lo que predice el destino de la ec. (1).

3. El teorema cuántico de Liouville (1) se reemplaza por la ecuación cuántica de Liouville

   $$0~=~\frac{d\rho}{dt}~=~X^Q_{-H}[\rho]+\frac{\partial \rho}{\partial t}\tag{8}$$ $$\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\partial \rho}{\partial t} ~\stackrel{(8)}{=}~X^Q_{H}[\rho] ~\stackrel{(3)}{\neq}~ X^Q_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} ~\stackrel{(6)}{=}~ X_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} .\tag{9}$$ La desigualdad (9) es precisamente la ineq. (2).$\Box$

4. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Disculpas por mi incapacidad para compartir la intuición, un tema frecuentemente subjetivo... He aprendido mucho al leer los flujos numéricos del grupo de Steuernagel y las características topológicas de tales flujos, en la práctica. Para una discusión/prueba reciente de los ceros, las singularidades y las características de densidad de probabilidad negativa, de ahí su consulta fuente-sumidero en sistemas cuánticos anarmónicos, consulte Kakofengitis, Oliva & Steuernagel, 2017 . Básicamente, todas las apuestas están canceladas cuando usted (un punto en el espacio de fase) y los vecinos ingresan a una celda de orden de espacio de fase$\hbar$, a fuerza del principio de incertidumbre, y que incluye una definición de lo que es una trayectoria.

Si ve las ingeniosas películas de Cabrera y Bondar en el artículo de WP al que está vinculado para los potenciales de Morse y cuartico, en realidad ve esto en tiempo real, como un bulto (usted) esparcido por todo el espacio de fase de una manera altamente organizada ... ¡Te desafío a discernir trayectorias allí! Hay una poderosa topología en el trabajo, pero me remito a Steuernagel para eso.

Como garantía práctica, desarrollaré un ejercicio trivial de nuestro libro sobre la compresibilidad de los flujos de Euler. Para un hamiltoniano$H=p^2/(2m)+V(x)$, la ecuación de evolución de Moyal equivale a una ecuación de continuidad de transporte de probabilidad euleriana,

Ahora nota para el oscilador,$V_1= x^2/2$,$J_p=-f x$, por lo que la velocidad del espacio de fase${\bf v}=(mp,- x)$y$\nabla \cdot {\bf v}=0$, incompresibilidad. Este es un recordatorio de que el oscilador cuántico es básicamente clásico, y sus paquetes de ondas no se propagan, como señaló icónicamente Schroedinger... estados coherentes. Pero esta es una excepción de llanto.

Para un potencial más genérico, como el cuartico,$V_2= x^4/4$,

Entonces, la diferencia estrictamente cuántica entre el corchete cuántico de Moyal y el corchete clásico de Poisson es el elemento crucial para aumentar o disminuir la cantidad de (cuasi) probabilidad en una región de espacio de fase comóvil.$\Omega$, ya que

• Nota añadida : Es aún más extraño. ¡ Los flujos cuánticos muestran una viscosidad físicamente significativa !

Aquí está mi intento realmente ingenuo de responder a mi propia pregunta. Por favor corrígeme donde me equivoco.

Cada punto en el espacio de fase corresponde a un estado específico del sistema.$(\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots,\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots)$. A medida que pasa el tiempo, este punto se mueve y traza una órbita en el espacio de fase. Esta órbita se puede calcular usando las ecuaciones de Hamilton.

Los puntos vecinos describen estados similares. Entonces, cuando no estamos seguros del estado exacto de nuestro sistema (que siempre lo estamos gracias a nuestra limitada precisión de medición), debemos tener esto en cuenta mediante el uso de una función de distribución de espacio de fase. Esta función$\rho (p,q)$determina la probabilidad$\rho (\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots,\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots)\,d^{n}q\,d^{n}p$que el sistema se encontrará en el volumen de espacio de fase infinitesimal$d^{n}q\,d^{n}p$. La ecuación de Liouville determina la "órbita" de nuestra función de distribución del espacio de fase inicial. El camino que se traza de esta manera define un flujo en el espacio de fase. Los dos ingredientes esenciales en la derivación de la ecuación de Liouville son

1. ecuaciones de hamilton
2. La ecuación de continuidad para$\rho (p,q)$.

El segundo ingrediente aquí nos lleva a la famosa conclusión de que el flujo del espacio de fase es incompresible . Lo que esto significa es que podemos poner un lápiz en cada configuración inicial posible (posible en un sentido estadístico ya que no estamos 100% seguros acerca de la configuración inicial) y luego rastrear el flujo del espacio de fase moviendo estos lápices a través de nuestro espacio de fase .

Ahora, en Mecánica Cuántica, esto ya no es cierto. Nuestro flujo de espacio de fase es comprimible . En otras palabras, la ecuación de continuidad ya no es correcta ya que hay fuentes y sumideros. Lo que esto significa es que cuando tratamos de trazar nuestros obituarios usando lápices fallaremos. Una trayectoria puede dividirse en dos y otras trayectorias posiblemente desaparezcan. (Hay fuentes para nuevas trayectorias y sumideros donde terminan las trayectorias).

Este es el resultado de la incertidumbre fundamental en la Mecánica Cuántica. Si bien también puede haber incertidumbre en la Mecánica Clásica (razón por la cual usamos la función de probabilidad y la ecuación de Liouville en primer lugar), es de un tipo diferente. En Mecánica Cuántica no existe una órbita única para cada configuración inicial posible. Esto es lo que queremos decir cuando decimos que el flujo del espacio de fase en la Mecánica Cuántica es comprimible.