¿Diferencia entre el espacio de fase y el espacio de Hilbert? [cerrado]

En resumen: el espacio de fase no se convierte en un espacio vectorial porque esa estructura adicional no proporciona ningún beneficio; la mecánica cuántica usa un espacio de Hilbert porque esa estructura adicional proporciona beneficios.

Cada vez que relacione una estructura matemática con un concepto físico, debe preguntarse qué tan útil es esa relación. La estructura matemática tendrá varias propiedades, por lo que la pregunta es: ¿el concepto físico incorpora todas esas propiedades y son esas propiedades suficientes para describir la física?

En este caso, la estructura matemática principal sobre la que está preguntando es el espacio vectorial, que tiene dos propiedades clave: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. En la mecánica cuántica, existe un concepto físico de interferencia entre dos partículas. La estructura matemática del espacio vectorial es capaz de representar esto como la suma de los dos vectores (funciones de onda) que representan las partículas. También tenemos el concepto de superposición de estados para una sola partícula, que también se representa por la suma de esos estados. Pero solo sumando los dos estados posibles se obtiene una función de onda donde la probabilidad de encontrar la partícula en ese estado es mayor que uno. Por lo tanto, debe poder multiplicar los estados posibles por un escalar. Además, podría haber una pequeña posibilidad de encontrar la partícula en uno de esos estados, por lo que le gustaría mezclar solo una pequeña cantidad de ese vector; lo multiplicarías por algún pequeño escalar.

Estas cosas son solo argumentos que sugieren que el espacio vectorial le brinda una forma razonable de representar la situación física, y deshacerse de cualquiera de las características del espacio vectorial significa que se deshace de parte de su capacidad para describir la física. Así que probablemente no queramos una estructura matemática más simple y no hay una razón obvia para tener una estructura matemática más complicada. ^[1]

Bien, ahora pasemos al espacio de fase. Para simplificar, tome el ejemplo habitual de una sola partícula en movimiento unidimensional, por lo que el espacio de fase es bidimensional. Recuerde que una de esas dimensiones representa el concepto físico de posición, mientras que la otra representa el concepto físico de cantidad de movimiento. De hecho , podrías hacer un espacio vectorial a partir de estas dos dimensiones; simplemente defina un punto como un vector en términos de sus coordenadas, defina la suma de dos puntos por la suma de sus coordenadas y defina la multiplicación escalar por la multiplicación de sus coordenadas. Esa es una estructura matemática perfectamente válida. ^[2]

Pero ahora tenemos que hacer nuestra pregunta. ¿Qué te ofrece esta elegante estructura matemática? ¿Son la suma vectorial y la multiplicación escalar expresiones útiles de algún concepto físico? ¿Qué significa multiplicar simultáneamente tu posición y tu impulso por 2, por ejemplo? ¿Qué significa sumar la partícula que tiene posición 1 y cantidad de movimiento 0 a la partícula que tiene posición 0 y cantidad de movimiento 1? Ese es solo otro estado, probablemente con una energía diferente. Básicamente, normalmente no habrá ninguna interpretación física útil de estas operaciones.

En general (aunque no absolutamente siempre), no es útil en física agregar cosas de diferentes tipos. En este caso, la posición y el impulso son conceptos bastante diferentes, por lo que no está del todo claro por qué deberías sumarlos. Desde una perspectiva matemática, se podría definir. Pero desde una perspectiva física, no está claro por qué debería hacerlo. ^[3]

Notas al pie:

[1] Como dijo el OP, la mecánica cuántica en realidad usa un espacio de Hilbert, que es un espacio vectorial con otra propiedad importante. No solo es un espacio vectorial, sino que también tiene un producto interno definido en él; puedes tomar dos vectores y obtener un escalar. (Hay algunos detalles técnicos más, pero esa es la parte importante). Esto es importante porque incorpora el concepto físico de probabilidad, por ejemplo. Es por eso que las funciones de onda cuánticas deben ser no solo vectores, sino elementos de un espacio de Hilbert. Arriba, me limité a las propiedades del vector porque eso es lo que parecía querer el OP.

[2] Uno podría objetar que hemos agregado cantidades de diferentes unidades, y en física se nos enseña a nunca hacer esto. Hay una razón perfectamente buena por la que nos enseñan eso en física: básicamente nunca es útil y, por lo general, es una señal de que hemos hecho algo mal. Pero desde una perspectiva puramente matemática, en realidad es válido. Puede agregar 1 metera 5 kilograms*meters/secondpara obtener la cantidad 1m + 5kg*m/s, al igual que puede agregar 1 a 5$i$(dónde$i$es la raíz cuadrada de -1) para obtener la cantidad 1 + 5$i$. Simplemente no sé qué 1m + 5kg*m/ssignifica realmente la cantidad, o cómo podría ser útil. Básicamente, si obtengo algo así en un cálculo, sabría que me equivoqué porque nunca quiero algo así. No obstante, está matemáticamente bien definido. De hecho, se podría argumentar que el álgebra de Clifford (o álgebra geométrica) hace esencialmente lo mismo, agregando un escalar a un vector o bivector. Si uno agrega unidades de distancia al vector, por ejemplo, un espinor tiene unidades [adimensional + distancia$^2$]. Hay otras interpretaciones posibles, pero esa es válida.

[3] También existe el concepto de trayectoria en el espacio de fase, donde la trayectoria viene dada por un vector. Técnicamente, este vector no está en el espacio de fase; está en el espacio tangente al espacio de fase. Aún así, ese es un ejemplo de un espacio vectorial donde las diferentes direcciones tendrían diferentes unidades.