El análogo cuántico del teorema de Liouville

es sutil El teorema no está ahí: los flujos cuánticos son comprimibles (Moyal, 1949).

Seguiré a Ch. 0.12 de nuestro libro, Tratado conciso de mecánica cuántica en el espacio de fases, 2014 .

El análogo de la densidad de Liouville de la mecánica clásica es la función de Wigner en la mecánica cuántica del espacio de fase. Su ecuación de evolución (generalizando la de Liouville) es

$${\partial f \over \partial t} =\{\!\!\{H ,f\}\!\!\}~,$$ donde los corchetes dobles (Moyal) indican una célebre modificación cuántica de los corchetes de Poisson por términos de $O(\hbar^2)$, y sirven para probar el teorema de Ehrenfest para la evolución de los valores esperados.

Para cualquier función de espacio de fase$k(x,p)$sin dependencia temporal explícita,

$$\begin{eqnarray} \frac{d\langle k \rangle }{dt} &=& \int\! dx dp~ {\partial f \over \partial t} k \nonumber \\ &=& {1\over i\hbar} \int\! dx dp~ ( H\star f- f\star H)\star k \nonumber\\ &=& \int\! dx dp~ f \{\!\!\{k,H\}\!\!\} = \left \langle \{\!\!\{ k,H\}\!\!\} \right \rangle , \end{eqnarray}$$ donde se detalla en dicho texto el producto estrella y sus manipulaciones.

Moyal enfatizó (¿descubrió?) que su ecuación de evolución cuántica homónima anterior contrasta con el teorema de Liouville (ecuación de Boltzmann sin colisiones) para las densidades clásicas del espacio de fase,

$${d f_{cl}\over dt}= {\partial f_{cl} \over \partial t} + \dot{x} ~\partial_x f_{cl} + \dot{p}~ \partial_p f_{cl} =0~.$$

Específicamente, a diferencia de su contraparte clásica, en general,$f$ no fluye como un fluido incompresible en el espacio de fase , privando así de significado a las trayectorias físicas del espacio de fase, en este contexto. (Únicamente la evolución del oscilador armónico es trayectorial, excepcionalmente).

Para una región arbitraria$\Omega$sobre algún punto representativo en el espacio de fase, el eflujo no se desvanece,

$$\begin{eqnarray} {d \over dt}\! \int_{\Omega}\! \! dx dp ~f&=& \int_{\Omega}\!\! dx dp \left ({\partial f \over \partial t}+ \partial_x (\dot{x} f) + \partial_p (\dot{p} f ) \right)\\ &= & \int_{\Omega}\! \!\! dx dp~ (\{\!\!\{ H,f\}\!\!\}-\{H,f\})\neq 0 ~.\nonumber \end{eqnarray}$$

Es decir, la región del espacio de fases no conserva en el tiempo el número de puntos que pululan alrededor del punto representativo: los puntos se difunden, en general, a una velocidad de O($\hbar^2$), sin mantener la densidad del fluido de cuasi-probabilidad cuántica; y, por el contrario, no se les impide unirse, en contraste con el comportamiento determinista (flujo incompresible).

Aún así, por infinito$\Omega$abarcando todo el espacio de fase , ambos términos de superficie anteriores se desvanecen para producir una normalización invariable en el tiempo para el WF.

los$O(\hbar^2)$los derivados de mayor momento de la WF presentes en el MB (pero ausentes en el PB --- derivados del espacio superior que prueban la no linealidad en el potencial) modifican el flujo de Liouville en configuraciones cuánticas características. Entonces, las regiones de probabilidad negativa que se mueven hacia la izquierda equivalen a flujos de probabilidad hacia la derecha, etc. Los flujos de Wigner son un campo recóndito, cf. Steuernagel et al, 2013 .

Para un hamiltoniano$H=p^2/(2m)+V(x)$, la ecuación de evolución anterior equivale a una ecuación de continuidad de transporte de probabilidad euleriana,

$$\frac{\partial f}{\partial t} +\partial_x J_x + \partial_p J_p=0~,$$ donde, por $\mathrm{sinc}(z)\equiv \sin z/~ z$, el flujo del espacio de fase es $$J_x=pf/m~ ,\\ J_p= -f \mathrm{sinc} \left( {\hbar \over 2} \overleftarrow {\partial _p} \overrightarrow {\partial _x} \right)~~ \partial_x V(x).$$
Nota añadida . Para una discusión/prueba reciente de los ceros, las singularidades y las características de densidad de probabilidad negativa, de ahí las inevitables violaciones del teorema de Liouville en los sistemas cuánticos anarmónicos, consulte Kakofengitis et al, 2017 .

El análogo mecánico cuántico del teorema de Liouville se da en términos de una matriz de densidad $\rho$(ver https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix ) y estados

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\left[\rho,H\right]$$

Esto nos da inmediatamente el teorema de Ehrenfest , que establece que para cualquier observable$A$, el valor esperado$\langle A\rangle=\text{tr}(A\rho)$obedece la ecuacion

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle\left[A,H\right]\rangle$$

Lo cual, en resumen, dice que los valores esperados obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento.