¿Sistemas cuánticos sin un análogo clásico? [cerrado]

1) Es cierto que no todos los sistemas cuánticos tienen análogos clásicos. Por ejemplo, si tenemos un álgebra cuántica$({\cal A},\ast)$de polinomios de Laurent en un indeterminado $\hbar$, y dotado de un producto estrella asociativo$\ast$, podría no tener sentido tomar el límite clásico$\hbar\to 0$.

2a) Sin embargo, en la página vinculada, Dirac hace un punto ligeramente diferente que involucra la posición canónica y las coordenadas del momento, cf. debajo de extractos en negrita.

sistemas dinámicos que tienen un análogo clásico y que se pueden describir en términos de coordenadas canónicas y momentos . Esto no incluye todos los sistemas posibles en la mecánica cuántica. [...]

[...] podemos tener un sistema en la mecánica cuántica para el cual las coordenadas canónicas y los momentos no existen y todavía podemos dar un significado a los PB Tal sistema sería uno sin un análogo clásico [...]

2b) Recuerde que las primeras entradas en el diccionario entre

$$\tag{0} \text{Quantum Mechanics}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Classical Mechanics}$$

leer

$$\tag{1} \text{Operator}\quad\hat{f}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Function/Symbol}\quad f,$$

$$\tag{2} \text{Commutator}\quad \frac{1}{i\hbar}[\hat{f},\hat{g}] \quad\longleftrightarrow\quad\text{Poisson bracket}\quad \{f,g\}_{PB} ,$$

$$\text{Heisenberg's EOMs}\quad\quad\quad\quad\quad\quad \text{Hamilton's EOMs}$$ $$\tag{3} \frac{d\hat{f}}{dt}~=~\frac{1}{i\hbar}[\hat{f},\hat{H}]+ \frac{\partial\hat{f}}{\partial t}\quad\longleftrightarrow\quad \frac{df}{dt}~=~\{f,H\}_{PB}+ \frac{\partial f}{\partial t} .$$ Ver también esta publicación de Phys.SE.

2c) En un lenguaje moderno, Dirac esencialmente está diciendo (en las citas anteriores) que si descuantificamos una teoría cuántica, entonces, en el lado clásico, la variedad de Poisson resultante (posiblemente degenerada) puede no ser una variedad simpléctica , o incluso una variedad regular.$^1$múltiple de veneno.

Recuérdese que el teorema de Darboux , que garantiza la existencia de coordenadas canónicas/de Darboux (en cada una de las vecindades suficientemente pequeñas) no se cumple para (singular$^2$) Variedades de Poisson.

2d) Un contraejemplo simple es el$su(2)$álgebra de mentira

$$\tag{4} [\hat{J}^I,\hat{J}^J] ~=~i\hbar\varepsilon_{IJK}\hat{J}^K$$

de operadores de momento angular, lo que conduce a una variedad de Poisson singular$\mathbb{R}^3$con soporte Poisson

$$\tag{5} \{J^I,J^J\}_{PB} ~=~\varepsilon_{IJK}J^K.$$

Las hojas simplécticas son 2 esferas concéntricas. La hoja simpléctica$\{0\}$en el origen es singular. No existen coordenadas Darboux/canónicas en una vecindad del origen.

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$^1$Un tensor de Poisson regular tiene un rango constante. Un tensor de Poisson singular puede tener saltos de rango. Una estructura de Poisson de rango máximo es una estructura simpléctica.

$^2$Existe una versión generalizada del teorema de Darboux para una variedad de Poisson regular donde las vecindades de Darboux contienen coordenadas de posición, momento y casimir.