En primer lugar, me está costando encontrar una buena definición de lo que realmente es un par conjugado en términos de variables físicas y, sin embargo, he leído varias cosas diferentes que utilizan el hecho de que dos variables son un par conjugado para justificar cosas.
Por ejemplo, de vez en cuando veo algo que dice algo como "sabemos que el conmutador de estas variables no es cero porque son un par conjugado".
Además, he deducido que la posición y el impulso son un par conjugado al igual que la energía y el tiempo. He visto una vez que las componentes imaginaria y real de un campo eléctrico son un par conjugado.
Entonces, parece que si tomo dos variables y sus operadores mecánicos cuánticos no conmutan, son un par conjugado. Sin embargo, esto no me parece del todo correcto... O al menos esa es una definición poco convincente porque no habla de nada clásico.
Entonces, eso me lleva a dos preguntas:
1. ¿Cómo se define un par de variables conjugadas?
2. ¿Qué papeles importantes juegan los pares conjugados tanto en la mecánica clásica como en la cuántica?
Sea dada una variedad simpléctica y dos funciones .
Definición. las dos funciones y constituyen un par canónico si existe un atlas de funciones de coordenadas canónicas locales / Darboux
Según la definición de wikipedia, dos variables son conjugadas si una es la transformada de Fourier de la otra. ¿Qué quiere decir esto? bueno, probablemente sabrás que la transformada de Fourier de una función gaussiana con es otra gaussiana con desviación estándar .
Esto significa que si tratamos de medir una de las variables en un sistema que nos da una alta precisión en una de ellas, la otra tendrá una gran incertidumbre. Un gran ejemplo de wikipedia es el tiempo y la frecuencia de una onda de sonido. Digamos que quiere medir el centro de tiempo de la onda de sonido del sonido y la frecuencia. Puede obtener fácilmente la frecuencia de una onda muy larga, pero el error al obtener el tiempo será enorme. Lo contrario da la vuelta para un sonido muy corto y agudo. Esto sucede mucho en muchos otros sistemas clásicos. El ejercicio es que en QM, dos variables cualesquiera que se conjugan mostrarán una propiedad similar. Si tiene dos operadores no conmutativos, como y , que no conmutan, se podría derivar el principio de Incertidumbre: , y nuevamente, si puede medir uno de ellos con una precisión muy alta, el otro tendrá un gran error. Se trata de gaussianos
En términos de variables físicas, los pares conjugados provienen de la mecánica lagrangiana. Si tiene una coordenada x, puede obtener el momento asociado, p de la función lagrangiana, L, que es la diferencia de la energía cinética, T, menos la energía potencial V. Por ejemplo, L = TV. Entonces el momento está dado por la derivada parcial del Lagrangiano con respecto a la velocidad, dx/dt. Si uno hace una transformación "canónica" de las coordenadas x y p a diferentes coordenadas Q y P, entonces Q y P están relacionadas de manera similar con el nuevo Lagrangiano.
Estos pares canónicos a menudo se mencionan cuando se construyen hamiltonianos cuánticos utilizando el principio de correspondencia para argumentar que los mismos pares de la mecánica lagrangiana también deben conjugarse canónicamente en la mecánica cuántica y, por lo tanto, deben tener las mismas relaciones de conmutación que x y p.
Una buena discusión está aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_transformation
Creo que un uso común del término "par conjugado" solo significa que dos variables dinámicas tienen un corchete de Poisson de .
parker
qmecanico