Convertir entre dσdtdσdt\frac{d \sigma}{dt} y dσdΩdσdΩ\frac{d \sigma}{d \Omega}

Question

Convertir entre dσdtdσdt\frac{d \sigma}{dt} y dσdΩdσdΩ\frac{d \sigma}{d \Omega}

Física
dispersión
simulaciones
teoría cuántica de campos
sección transversal de dispersión

Guillermo Grunow

Estoy realizando una simulación donde requiero la integración de una sección transversal del formulario.

σ = \int_{- s}^{0} d t \frac{1}{(t - m^{2})^{2}} F (θ, ϕ)

$\sigma = \int_{-s}^{0}dt \frac{1}{(t-\mu^2)^2} f(\theta,\phi)$

dónde $s$ y $t$ son las variables mandelstam usuales, $\mu^2$ es una constante, y $f$ es una función invariante no Lorenz del fondo y los ángulos de dispersión. Debido a esto $f$ No puedo impulsar el marco COM donde la cinemática se vuelve trivial, por lo tanto, quiero integrar

σ = \int d θ d ϕ \frac{1}{(t (θ, ϕ) - m^{2})^{2}} F (θ, ϕ)

$\sigma = \int d\theta d\phi \frac{1}{(t(\theta,\phi)-\mu^2)^2} f(\theta,\phi)$

lo que encuentro no trivial es determinar el jacobiano de esta transformación (dado que vamos de una integral 1-D a una 2-D, la matriz jacobiana no es cuadrada).

El gran problema es que $t(\theta,\phi)$ es una función degenerada de $\theta$ y $\phi$ y por lo tanto la integración sobre $\theta$ y $\phi$ mi sección transversal diferencial cuenta dos veces y, por lo tanto, la sección transversal total con la que termino es demasiado grande.

Verifiqué esto a través de la integración numérica para $f=1$ y comparado con el resultado analítico

σ = \int_{- s}^{0} d t \frac{1}{(t - m^{2})^{2}} = \frac{s}{m^{2} (m^{2} + s)}

$\sigma = \int_{-s}^{0}dt \frac{1}{(t-\mu^2)^2} = \frac{s}{\mu^2(\mu^2+s)}$

Probé una especie de método de fuerza bruta para encontrar el jacobiano, extrayendo líneas de constante $t$ de un diagrama de contorno de Mathematica, y calculando la longitud de arco de estas líneas, y luego dividiendo la degeneración.

Para resumir, no funciona.

tl; dr

Encuentra el jacobiano que convierte

\int_{- s}^{0} d t \to \int d θ d ϕ

$\int_{-s}^{0} dt \rightarrow \int d\theta d\phi$ en el marco del laboratorio

¿Algunas ideas?

EDITAR: Entonces mis ángulos se definen de la siguiente manera, alineo mi eje z con una de las partículas entrantes, especificando el $\theta$ y $\phi$ (es decir, el vector unitario) en el que se dispersa determina únicamente su magnitud y luego, de manera trivial (por conservación del momento), el otro vector de dispersión. (dado que no estamos en el marco COM, el otro vector entrante no está antialineado)

EDICIÓN 2: en un intento de hacerlo bien planteado, puedo hacer el siguiente "cambio"

\int_{- s}^{0} d t = \int_{0}^{2 π} \int_{- s}^{0} d ψ d t \frac{1}{2 π}

$\int_{-s}^{0} dt = \int_{0}^{2\pi}\int_{-s}^{0} d\psi dt \frac{1}{2\pi}$

En el marco COM esto correspondería a integrar sobre el cono de vectores que corresponden a un valor específico de $t$ . En principio, debería ser capaz de sacar un jacobiano ahora, eso si puedo expresar $\psi(\theta,\phi)$ (que correspondería a líneas de constante $t$ ).....hmmmmm....Voy a seguir con esta idea un rato.

Snaporaz

No estoy seguro de entender cuál es el ángulo

ϕ

$\phi$ medio. ¿Es el ángulo de colisión de las partículas entrantes? En ese caso solo está presente la variable

s

$s$ .

Guillermo Grunow

He agregado algunos detalles más, ¿esto aclara?

Snaporaz

Sí, lo hace. ahora mi pregunta es si

t

$t$ es la variable mandelstam

(p_{i n} - p_{o u t})^{2} = 2 m^{2} - 2 E_{i n} E_{o u t} + 2 | \vec{p_{i n}} | | \vec{p_{o u t}} | \cos (θ)

$(p_{in}-p_{out})^2=2m^2-2E_{in}E_{out} +2|\vec{p_{in}}||\vec{p_{out}}|\cos(\theta)$ , dónde

p_{i n}

$p_{in}$ y

p_{o u t}

$p_{out}$ son los cuatro momentos de la partícula inicialmente alineados con el eje z; por qué impones un

ϕ

$\phi$ ¿dependencia?

Guillermo Grunow

Porque

| \vec{p_{o u t}} |

$|\vec{p_{out}}|$ depende de

ϕ

$\phi$ (nota al margen que podemos establecer

m = 0

$m = 0$ ).

Respuestas (1)

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No estoy seguro de entender cuál es el ángulo $\phi$ medio. ¿Es el ángulo de colisión de las partículas entrantes? En ese caso solo está presente la variable $s$ .
Sí, lo hace. ahora mi pregunta es si $t$ es la variable mandelstam $(p_{in}-p_{out})^2=2m^2-2E_{in}E_{out} +2|\vec{p_{in}}||\vec{p_{out}}|\cos(\theta)$ , dónde $p_{in}$ y $p_{out}$ son los cuatro momentos de la partícula inicialmente alineados con el eje z; por qué impones un $\phi$ ¿dependencia?
Porque $|\vec{p_{out}}|$ depende de $\phi$ (nota al margen que podemos establecer $m = 0$ ).

Ladrillo · Answer 1

Independientemente del proceso físico, esta pregunta está matemáticamente mal planteada. Si desea convertir la integral de la forma 1D que proporcionó a la forma 2D que proporcionó, no está realizando un cambio "ordinario" de variables donde puede usar una matriz jacobiana para ajustar la medida. (Como usted mismo notó, el jacobiano en este caso no será cuadrado, por lo que operativamente no podrá aplicar esta fórmula incluso antes de entrar en los detalles de si es la fórmula correcta para usar).

Si realmente desea realizar este cambio, debe poder escribir una u otra de las variables en función de la otra, es decir $\theta = \theta(\phi)$ o $\phi = \phi(\theta)$ . Entonces puedes escribir tu integral como dos integrales 1D anidadas. En general, sin embargo, los límites para la integración en la integral interna serán función de la variable de integración en la integral externa. En símbolos, terminarás con algo como esto:

σ = \int_{a}^{b} [\int_{yo (θ^{'})}^{tu (θ^{'})} \frac{F (θ (ϕ^{'}), ϕ^{'})}{(t (θ (ϕ^{'}), ϕ^{'}) - m^{2})^{2}} d (θ (ϕ^{'}) - θ^{'}) \frac{d t}{d ϕ^{'}} d ϕ^{'}] d θ^{'}

$\sigma = \int_a^b \left[ \int_{l(\theta')}^{u(\theta')} \frac{f(\theta(\phi'),\phi')}{(t(\theta(\phi'),\phi')-\mu^2)^2} \delta(\theta(\phi') - \theta') \frac{dt}{d\phi'} d\phi' \right] d\theta'$ .

El $\delta$ es el Dirac $\delta$ -función.

Además, ya que dijiste eso $t$ es altamente degenerado en función de los ángulos, en realidad necesitará dividir la integral anterior en múltiples dominios de modo que $t$ no degenera en el rango de integración de cada subdominio. Luego suma los resultados de las integrales en los subdominios.

A menos que su problema tenga alguna estructura adicional que pueda explotar, hacer estos cambios probablemente sea tan difícil o más difícil que evaluar la integral original. Si no puede evaluarla analíticamente, quizás desee pasar a una técnica de integración numérica o encontrar alguna otra transformación para la integral que se aplique a su problema.

Si insiste en una respuesta "simple" a su pregunta, supongo que diría que $\delta(\theta(\phi') - \theta') \frac{dt}{d\phi'}$ es el determinante del jacobiano que buscó, aunque eso elimina los puntos sobre los límites de integración que no son triviales y los posibles impactos de la degeneración de $t$ en función de los ángulos.

Sí, tienes un buen punto, ya estoy integrando numéricamente esta función, todavía necesito encontrar el jacobiano antes de poder hacer esto. He hecho un intento de hacer el problema bien planteado. Podría ser posible invertir la función en términos de $t$ y $\psi$ simultáneamente.... Estoy trabajando en ello ahora
Está claro que el jacobiano, donde se define, es la matriz de derivadas parciales, como siempre lo es. Como señalaste, eso no es cuadrado, pero es el jacobiano. Sin embargo, NO hay jacobiano que logre el cambio de variables que busca en su pregunta original.

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Snaporaz

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