Integral en espacio euclidiano nnn−dimensional

Hice esta pregunta en Mathematics Stack Exchange , pero desafortunadamente aún no hay respuesta. Lo vuelvo a publicar porque esta integral proviene de QFT y tal vez alguien aquí lo hizo antes o podría ayudarme. Me limito a copiar este post.

Quiero calcular esta integral en norte espacio euclidiano -dimensional.

I ( X ) = ∫ R norte d norte k ( 2 π ) norte mi i ( k ⋅ X ) k 2 + a 2 ,
dónde k 2 = ( k ⋅ k ) , k = ( k 1 , … , k norte ) ∈ R norte , X = ( X 1 , … , X norte ) ∈ R norte , a ∈ R .

He hecho esta integral para norte = 3 por coordenadas esféricas y teorema del residuo. Tengo

I ( r ) = 1 4 π r mi − a r ,
dónde r = | X |

Pero en norte -dimensiones Fallé al usar coordenadas esféricas , porque nunca lo había hecho antes. También veo que esta integral es la transformada de Fourier de 1 k 2 + a 2 , pero fallé aquí también, porque no puedo encontrar el par de Fourier en mis libros de referencia.

Si alguien pudiera orientarme en esta integración sería genial.

Sugerencia: transformada de Fourier.
@William Como puede ver, lo mencionó: "También veo que esta integral es la transformada de Fourier de <...>, pero también fallé aquí, porque no puedo encontrar el par de Fourier en mis libros de referencia".
@xxxxx: Ah, sí, debería haber leído más detenidamente.

Respuestas (1)

ATENCIÓN: La función no es absolutamente integrable para norte > 1 , por lo que la integral depende en gran medida de cómo decida calcularla si divide la integración en integrales iteradas.

Utilice en su lugar coordenadas cilíndricas. k = ( z , r → ) , dónde r → ∈ R norte − 1 y z ∈ R . Tienes esta manera, suponiendo que X se dirige a lo largo z :

I ( X ) = 1 ( 2 π ) norte ∫ R norte − 1 d r → ∫ R d z mi i | X | z r → 2 + z 2 + a 2 = ω norte − 1 ( 2 π ) norte ∫ 0 + ∞ d r ∫ R d z mi i | X | z r norte − 2 r 2 + z 2 + a 2
Entonces:
I ( X ) = 2 ω norte − 1 ( 2 π ) norte ∫ 0 + ∞ d r ∫ 0 + ∞ d z r norte − 2 porque ⁡ ( | X | z ) r 2 + z 2 + a 2
dónde ω norte − 1 = 2 π ( norte − 1 ) / 2 Γ ( ( norte − 1 ) / 2 ) es la medida de la superficie de la esfera unidad en R norte − 1 .

La integral interna se puede encontrar en varios libros, por ejemplo, la identidad 3.723(2) en el libro Gradshteyn - Ryzhik (séptima edición). Ejecutándolo se tiene:

I ( X ) = π ω norte − 1 ( 2 π ) norte ∫ 0 + ∞ d r r norte − 2 mi − | X | r 2 + a 2 r 2 + a 2
La integral restante, pasando a integrarse en d ( r 2 / a 2 ) , se puede calcular en términos de funciones de Bessel k v usando la identidad 3.479(1) en el libro Gradshteyn - Ryzhik (séptima edición).

¡Compruebe todo ya que, como de costumbre, no confío en mis cálculos!

¡Gracias! Revisé tus cálculos y todo está bien.
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