Bosón sin masa en 2D y su propagador (retrasado)

Los propagadores de bosones sin masa son solo cero dentro del cono de luz si el número de dimensiones espaciales es impar y mayor que 1.

Puede determinar la forma exacta del propagador en el cono de luz, aunque sea divergente, y hacerlo para cualquier número de dimensiones espaciales, de la siguiente manera:

Use esta expresión para derivar el propagador en d dimensiones espaciales del caso unidimensional con,

$P_d{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a}\ P_1{(t,r)}$

dónde$~P{(t,r)}~$es el propagador, con$~~a=(d-1)/2~$y$~~s^2=t^2-r^2$

Para el propagador de Klein Gordon de valor real, esto se convierte en:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2) J_o(ms)\ \right\}$

Dónde${\cal H}(s^2)$es la función escalón de Heaviside, que es 1 dentro del cono de luz y 0 fuera del cono de luz. En el caso sin masa esto se convierte en:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2)\ \right\}$

Los siguientes gráficos que muestran los casos sin masa son de simulaciones numéricas:

En el caso de 1 dimensión espacial, verá la función de paso de Heaviside. El caso 3d es la derivada de primer orden de la función escalón. El caso 5d es la derivada de segundo orden de la función escalón y así sucesivamente.

Los casos de dimensión par son distintos de cero dentro del cono de luz debido a las derivadas de 1/2 orden.

El operador que deriva el propagador d-dimensional del propagador unidimensional se deriva en mi artículo aquí: http://www.physics-quest.org/Higher_dimensional_EM_radiation.pdf en la sección V.

Usando la representación de Poisson de la función de Bessel$J_n(z) = \frac{(z/2)^n}{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)} \int_0^{\pi} \cos{(z\cos{\theta})} \sin^{2n}{\theta} d\theta$, puedes determinar la constante..

En 3+1 d, por ejemplo, para una distancia similar al espacio, podemos hacer una transformación de Lorentz tal que$r = x-y$es puramente espacial, la amplitud es entonces$D(x-y) \sim \int dp \frac{p}{\sqrt{p^2 +m^2}} e^{ipr} \sim \delta{(r)}$..(Uso la notación de Peskin, cf, Cap.2.4, Eqn(2.52))