Problema con integral de bucle (HQET)

Question

Problema con integral de bucle (HQET)

jkb1603

Me he encontrado con la Integral:

\int_{0}^{\infty} d X [X^{2} - i X a + C]^{norte - \frac{d}{2}} {mi}^{- b X},

$\int_0^{\infty}dx [x^2-ixa+c]^{n-\frac{d}{2}}e^{-bx},$

dónde $n = 1,2 ; a,b,c,d \in \mathbb{R}; b,d > 0$ . Esta integral debe contener algunas divergencias para $d \rightarrow 4$ (para $c=0$ ). Supongo que uno debe poder escribirlo como una combinación de funciones Gamma.

giorgiop

Es

d

$d$ un numero real?

jkb1603

Sí, lo es. Lo siento. Lo arreglé en la pregunta.

Respuestas (2)

Problema con integral de bucle (HQET)

zachary · Answer 1

Primero comenzaré completando el cuadrado y usando el teorema del binomio dos veces, antes de simplificar la expresión resultante. Vamos.

\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\infty} (X - i a X + C)^{norte - \frac{d}{2}} {mi}^{- b X} d X \\ = \int_{0}^{\infty} {[{(X - \frac{i a}{2})}^{2} + \frac{a^{2} + 4 C}{4}]}^{norte - \frac{d}{2}} {mi}^{- b X} d X \\ = \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{norte - \frac{d}{2}} (\binom{norte - \frac{d}{2}}{k}) {(X - \frac{i a}{2})}^{2 k} {(\frac{a^{2} + 4 C}{4})}^{norte - \frac{d}{2} - k} {mi}^{- b X} d X \\ = \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{norte - \frac{d}{2}} \sum_{metro = 0}^{2 k} (\binom{norte - \frac{d}{2}}{k}) (\binom{2 k}{metro}) {(\frac{a^{2} + 4 C}{4})}^{norte - \frac{d}{2} - k} {(- \frac{i a}{2})}^{2 k - metro} X^{metro} {mi}^{- b X} d X \\ = \sum_{k = 0}^{norte - \frac{d}{2}} \sum_{metro = 0}^{2 k} (\binom{norte - \frac{d}{2}}{k}) (\binom{2 k}{metro}) {(\frac{a^{2} + 4 C}{4})}^{norte - \frac{d}{2} - k} {(- \frac{i a}{2})}^{2 k - metro} \int_{0}^{\infty} X^{metro} {mi}^{- b X} d X \\ = \sum_{k = 0}^{norte - \frac{d}{2}} \sum_{metro = 0}^{2 k} (\binom{norte - \frac{d}{2}}{k}) (\binom{2 k}{metro}) {(\frac{a^{2} + 4 C}{4})}^{norte - \frac{d}{2} - k} {(- \frac{i a}{2})}^{2 k - metro} \frac{metro!}{b^{metro + 1}} \end{aligned}

$\begin{align} I&=\int_0^\infty (x-iax+c)^{n-\frac{d}{2}} e^{-bx}\,dx \\ &=\int_0^\infty \left[\left(x-\frac{ia}{2}\right)^2+\frac{a^2+4c}{4}\right]^{n-\frac{d}{2}} e^{-bx}\,dx \\ &=\int_0^\infty \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}} {n-\frac{d}{2}\choose k} \left(x-\frac{ia}{2}\right)^{2k} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} e^{-bx}\,dx \\ &=\int_0^\infty \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}}\sum_{m=0}^{2k} {n-\frac{d}{2}\choose k} {2k \choose m} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \left(-\frac{ia}{2} \right)^{2k-m} x^m e^{-bx}\,dx \\ &= \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}}\sum_{m=0}^{2k} {n-\frac{d}{2}\choose k} {2k \choose m} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \left(-\frac{ia}{2} \right)^{2k-m} \int_0^\infty x^m e^{-bx}\,dx \\ &= \sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}}\sum_{m=0}^{2k} {n-\frac{d}{2}\choose k} {2k \choose m} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \left(-\frac{ia}{2} \right)^{2k-m}\frac{m!}{b^{m+1}} \\ \end{align}$ Después de usar Wolfram Alpha para simplificar la suma interna, obtenemos

\begin{aligned} I & = {mi}^{- i a b / 2} \sum_{k = 0}^{norte - \frac{d}{2}} \frac{Γ (2 k + 1, - \frac{i a b}{2})}{b^{2 k + 1}} (\binom{norte - \frac{d}{2}}{k}) {(\frac{a^{2} + 4 C}{4})}^{norte - \frac{d}{2} - k} \end{aligned}

$\begin{align} I&= e^{-iab/2}\sum_{k=0}^{n-\frac{d}{2}} \frac{\Gamma\left(2k+1, -\frac{iab}{2}\right)}{b^{2k+1}} {n-\frac{d}{2}\choose k} \left(\frac{a^2+4c}{4} \right)^{n-\frac{d}{2}-k} \\ \end{align}$

¡Gracias por tu respuesta! Sin embargo, tengo una pregunta, porque olvidé mencionar explícitamente que $d$ en general no es un número entero. Entonces, en esta fórmula, la suma no estaría definida, ¿verdad? Sin embargo, esta derivación también debería funcionar si usa la serie binomial (ver wiki)?

mike piedra · Answer 2

No veo por qué debería haber divergencias en $d=4$ desde (supongo que $b>0$ ) la expresion $x^2−iax+c$ nunca es cero en el verdadero positivo $x$ eje --- por lo que no hay peligro de dividir por cero en cualquier parte de la integral. si factorizamos $x^2-iax+c= (x-\alpha)(x-\beta)$ entonces la integral solo se comportará mal si alguna de las ramas apunta a $x=\alpha$ o $x=\beta$ llegar al punto final en $x=0$ , o si se igualan al mismo tiempo que se pellizca el contorno.

Ah, sí. entré en la constante $c$ por generalidad. En realidad estoy buscando la Integral con $c=0$ . Entonces debe ser divergente en $d=4$ . ¿bien?

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