Integral de densidad de probabilidad sobre un conjunto de Borel

Esto es por la unicidad de la extensión de las medidas de probabilidad, para lo cual Dynkin's$\pi$-$\lambda$El teorema es uno de los martillos de referencia. Es un resultado tan útil que le sugiero que busque la prueba (es una de esas pruebas que son simples después de verla, pero termina preguntándose cómo se le ocurrió a alguien... al menos a mí), y guardar el resultado en la memoria. Un corolario estándar del teorema de Dynkin es el siguiente resultado de unicidad:

Teorema.

Suponer$(S,\mathscr{A})$es un espacio medible, y$\mu,\nu$son medidas de probabilidad definidas en$\mathscr{A}$, y supongamos$\mathcal{P}$es un$\pi$-sistema que genera la$\sigma$-álgebra$\mathscr{A}$, es decir$\mathscr{A}=\sigma(\mathcal{P})$. Si$\mu,\nu$acordar$\mathcal{P}$, entonces$\mu,\nu$estar de acuerdo en la totalidad$\sigma$-álgebra$\mathscr{A}$.

Para ver cómo aplicar este teorema a su caso específico, considere$S=\Bbb{R}$, con$\mathscr{A}$siendo el Borel$\sigma$-álgebra de$\Bbb{R}$. Definir$\mu=\Bbb{P}_{\xi}$sea ​​la distribución de su variable aleatoria, y defina$\nu(B)=\int_{B}f_{\xi}\,dx$. Entonces,$\mu,\nu$son ambas medidas de probabilidad definidas en$\mathscr{A}$(para ver eso$\nu$es de hecho una medida de probabilidad, necesita saber$f_{\xi}\geq 0$ae, y necesita invocar el teorema de convergencia monótono).

Ahora, considere$\mathcal{P}=\{(-\infty,x]\,:\, x\in\Bbb{R}\}$, la colección de todos los rayos cerrados a la derecha. Esto es un$\pi$-sistema porque claramente la intersección de tales intervalos es de nuevo otro intervalo. También,$\mathcal{P}$genera el Borel$\sigma$-álgebra (este es un ejercicio estándar: demuestre que genera todos los intervalos abiertos, por lo tanto, todos los conjuntos abiertos, por lo tanto, el Borel completo$\sigma$-álgebra). Por hipótesis,$\mu,\nu$acordar$\mathcal{P}$, por lo que por el teorema, están de acuerdo en el Borel completo$\sigma$-álgebra$\mathscr{A}$.

Para completar, aquí están las definiciones: dejar$S$ser un conjunto no vacío.

• A$\pi$-sistema encendido$S$es por definición un conjunto$\mathcal{P}\subset \text{power set of $S$}$, que está cerrado bajo intersecciones finitas (es decir,$A,B\in \mathcal{P}\implies A\cap B\in \mathcal{P}$).
• A$\lambda$-sistema encendido$S$es por definición una colección$\mathcal{L}\subset \text{power set of $S$}$, tales que se cumplan tres condiciones:$\emptyset\in \mathcal{L}$, y$\mathcal{L}$es cerrado bajo complementos, y$\mathcal{L}$se cierra bajo uniones disjuntas contables.

La razón por la cual$\pi$-sistemas y$\lambda$-los sistemas son útiles para trabajar es que, por lo general, podemos tomar$\pi$-los sistemas son muy pequeños, en el sentido de que tiene muy pocos conjuntos, pero aun así genera la totalidad$\sigma$-álgebra (por ejemplo, intervalos semi-infinitos en nuestro ejemplo anterior). La razón por la que nos gusta$\lambda$-systems es que, debido a la condición de unión disjunta, está literalmente rogando que se relacione de alguna manera con las medidas (porque las medidas son, por definición, contablemente aditivas).

El teorema de Dynkin dice lo siguiente: si$\mathcal{P}$es un$\pi$-sistema encendido$S$y$\mathcal{L}$es un$\lambda$-sistema encendido$S$que contiene$\mathcal{P}$, entonces contiene el$\sigma$-álgebra generada por$\mathcal{P}$. en símbolos,$\mathcal{P}\subset \mathcal{L}\implies \sigma(\mathcal{P})\subset \mathcal{L}$.

Veamos cómo el teorema anterior sobre la unicidad se deriva del teorema de Dynkin$\pi$-$\lambda$teorema. Definir$\mathcal{L}:= \{A\in\mathscr{A}\,:\, \mu(A)=\nu(A)\}$. Entonces,

• Claramente$\mu(\emptyset)=\nu(\emptyset)=0$, entonces$\emptyset\in \mathcal{L}$.
• Si$A\in\mathcal{L}$, entonces$\mu(A^c)=1-\mu(A)=1-\nu(A)=\nu(A^c)$, entonces$A^c\in\mathcal{L}$.
• Si$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathcal{L}$es una colección disjunta de conjuntos, entonces$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)=\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)$, entonces$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$.

Esto demuestra$\mathcal{L}$es un$\lambda$-sistema. Por hipótesis, contiene la$\pi$-sistema$\mathcal{P}$. Entonces, de Dynkin's$\pi$-$\lambda$teorema que obtenemos$\mathscr{A}=\sigma(P)\subset \mathcal{L}\subset \mathscr{A}$. Por eso,$\mathcal{L}=\mathscr{A}$, es decir, las dos medidas concuerdan en todo$\sigma$-álgebra.

Entonces, lo único que falta en mi respuesta es una prueba real de Dynkin.$\pi$-$\lambda$teorema mismo. Pero esto se puede encontrar en bastantes libros de texto, o simplemente puede buscarlo en Google.

También debo mencionar que el teorema de Dynkin no es el único enfoque. Otro resultado común de la teoría de la medida es el lema de clase monótona, que también puede probar muchos de los resultados que puede probar el teorema de Dynkin. Además, vea el texto de análisis real de Folland, el teorema 1.14 donde hay una prueba de unicidad de extensión bajo hipótesis ligeramente diferentes (pero aún aplicable en su caso).

Si es suficiente para mostrar que la igualdad se cumple para conjuntos de la forma$\{(a,b]:a<b\}$. En efecto,