¿Cuáles son exactamente las informaciones dadas por la CDF de una variable aleatoria?

Dejar$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$sea ​​un espacio de probabilidad y$X : (\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{F}_E)$una variable aleatoria que admite una función de densidad$f_X : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

Tengo algunas dudas sobre la información que da la función de distribución acumulada de$X$($F_X : \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$).

i) ¿La FCD determina$f_X$¿Únicamente?

ii) ¿La CDF determina la ley de X de forma única?

iii) ¿Podemos encontrar un subconjunto de eventos que determinen únicamente la CDF?

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Para i), diría que como$F_X(t) = \int_{- \infty}^{t}f_X(x)dx$, la función de densidad es la derivada de la CDF y, por lo tanto, la CDF solo puede definir una función de densidad. Pero creo que tal vez podríamos encontrar un contraejemplo considerando la medida de Lebesgue y tomando conjuntos de la forma$(a,b)$y$[a,b]$.

Para ii), como$\forall x \in \mathbb{R}$,$\mathbb{P}(X = x) = F_X(x) - F_X(x-)$y$\mathbb{P}(X \leq x) = F_X(x)$, estoy tentado a decir que la ley de$X$es de hecho por definición determinada únicamente por la CDF.

Para iii), tal vez podríamos tomar todos los eventos de la forma$\{X \in (a,b): a, b \in \mathbb{R}\}$pero no estoy muy seguro de eso, y particularmente con respecto a la singularidad.

Gracias de antemano por tu ayuda.