Conjunto Borel que no es unión numerable o intersección de conjuntos abiertos o cerrados

Su pregunta no está del todo clara, porque "uniones contables de conjuntos abiertos o cerrados " e "intersecciones contables de conjuntos abiertos o cerrados " no son "operaciones", son conjuntos. Supongo que te refieres a "uniones contables" e "intersecciones contables", y lo que estás pidiendo es esencialmente un conjunto que no está en un nivel finito ($\mathbf{\Sigma}_n^0$o$\mathbf{\Pi}_n^0$) de la jerarquía de Borel (en negrita).

De hecho, hay una construcción explícita de un conjunto en cada nivel ($\mathbf{\Sigma}_\xi^0$o$\mathbf{\Pi}_\xi^0$) de la jerarquía de Borel que no pertenece a ningún nivel anterior: se construye considerando un conjunto "universal", es decir, aproximadamente uno cuyas secciones dan todos los conjuntos posibles de ese nivel. Esto se hace, por ejemplo, en Kechris, Classical Descriptive Set Theory (1995, Springer GTM 156), §22.A, específicamente en los teoremas 22.3 y 22.4. La construcción es ciertamente explícita, aunque no es muy transparente.

Así es como creo que puedo simplificarlo un poco. en lugar de trabajar en$\mathbb{R}$, es mucho mejor trabajar en el espacio Cantor$\mathcal{C} = 2^{\mathbb{N}}$de secuencias binarias (tenga en cuenta que esto es homeomorfo al conjunto estándar de Cantor). Un hecho crucial es que$\mathcal{C}^2$es homeomorfo a$\mathcal{C}$(separando una secuencia binaria en sus términos pares e impares), y de hecho incluso$\mathcal{C}^{\mathbb{N}}$es homeomorfo a$\mathcal{C}$(usando una biyección entre$\mathbb{N}^2$y$\mathbb{N}$).

Comience con un conjunto abierto universal en$\mathcal{C}^2$: para obtener uno, considere una enumeración de secuencias binarias finitas y considere el conjunto$U$de aquellos$(x,y) \in \mathcal{C}^2$tal que, para algunos$i$para cual$y(i)=1$, la secuencia$x$comienza con el$i$-ésima secuencia binaria finita en la enumeración. Desde el conjunto$V_i$de elementos$x\in\mathcal{C}$que comienzan con el$i$-ésima secuencia binaria finita da una base abierta$(V_i)$de $\mathcal{C}$, este es un conjunto abierto "universal" en el sentido de que todo conjunto abierto de$\mathcal{C}$es$\{x : (x,y) \in U\}$para algunos $y \in \mathcal{C}$. El complemento$F$de$U$da un conjunto cerrado universal.

Ahora queremos construir un universal.$F_\sigma$, es decir,$\mathbf{\Sigma}_2^0$colocar. Para ello, considere el conjunto de$(x,(y_n)) \in \mathcal{C} \times \mathcal{C}^{\mathbb{N}}$tal que$(x,y_n)$(un elemento de$\mathcal{C}^2$) pertenece a$F$para algunos $n$: ya que todo conjunto cerrado de$\mathcal{C}$se puede obtener como$\{x : (x,y) \in F\}$para algunos $y \in \mathcal{C}$, cada$F_\sigma$(=unión contable de conjuntos cerrados) puede obtenerse como una unión de$\{x : (x,y_n) \in F\}$por alguna secuencia$y_n$de elementos de$\mathcal{C}$, es decir, como el conjunto de$x$para cual$(x,(y_n))$pertenece al conjunto que acabo de describir. Usando un homeomorfismo entre$\mathcal{C}^{\mathbb{N}}$y$\mathcal{C}$obtenemos un universal$F_\sigma$establecer en$\mathcal{C}^2$. Su complemento es un universal.$G_\delta$(=$\mathbf{\Pi}_2^0$) colocar.

Vuelva a hacer la misma construcción que la anterior, usando el universal$G_\delta$establecer en lugar de$F$para obtener un universal$\mathbf{\Sigma}_3^0$colocar. Luego hazlo una y otra vez: esto da una secuencia$U =: B_1, B_2, B_3, B_4,\ldots$dónde$B_n$es universal$\mathbf{\Sigma}_n^0$establecer en$\mathcal{C}^2$.

Finalmente, haga la construcción por última vez pero con$n$variable: es decir, considerar el conjunto de$(x,(y_n)) \in \mathcal{C} \times \mathcal{C}^{\mathbb{N}}$tal que, para algunos $n$, el elemento$(x,y_n)$(de$\mathcal{C}^2$) pertenece al complemento$B_n$. traerlo a$\mathcal{C}^2$(o para$\mathcal{C}$) usando homeomorfismos: llame a esto$B_\omega$.

Tenga en cuenta que esta construcción es completamente explícita: el axioma de elección nunca se usó, por ejemplo, y dada la elección de algunas biyecciones finistas (entre$\mathbb{N}^2$y$\mathbb{N}$o secuencias binarias finitas y$\mathbb{N}$), el conjunto está completamente especificado.

Ahora, ¿por qué no puede el universal$\mathbf{\Sigma}_n^0$colocar$B_n$ser$\mathbf{\Pi}_n^0$? Este es solo un argumento diagonal: si$B_n$eran$\mathbf{\Pi}_n^0$entonces el complemento de su diagonal$\{y : (y,y) \not\in B_n\}$sería$\mathbf{\Sigma}_n^0$, y esto contradice claramente la universalidad de$B_n$. Entonces$B_n$no es anterior a lo establecido en la jerarquía de Borel, y$B_\omega$es un conjunto de Borel que no se puede construir finitamente usando uniones o intersecciones contables.