¿Usando pdf X para encontrar pdf Y, y deduciendo los límites en los que la función de densidad de probabilidad de Y es válida?

La respuesta oficial solo mira la función de densidad de probabilidad de X , observa que es válida de 2 a 4 y deduce que para Y debe ser válida de 8 a 64. ¿Por qué se permite esto y hay alguna otra forma de deducir los límites dentro de los cuales la función de densidad de probabilidad es válida?

Sí. Desde$Y = X^3$y el apoyo de$X$es$[2;4]$, entonces el apoyo de$Y$es$[2^3;4^3]$.

La función de densidad para$X$es cero cuando$X$es en$(-\infty; 2)\cup(4;\infty)$. Entonces la función de densidad de$X^3$será cero al mismo tiempo, que es cuando$X^3$es en$(-\infty; 2^3)\cup(4^3;\infty)$. De este modo...

Eso es practicamente todo.

¿Podrías explicarlo de una manera más rigurosa? Un problema que tengo con esto si simplemente sustituye Y en lugar de X funciona, ¿por qué no hacerlo para encontrar la función de densidad de probabilidad real en lugar de ir pdf X --> cdf X ---> cdf Y ---> pdf Y ?

Porque, la función de densidad de probabilidad es el diferencial sin signo de la función de distribución acumulativa , y la CDF se obtiene por$\mathsf P(8\leq Y\leq y)=\mathsf P(2\leq X\leq y^{1/3})$.

Entonces$f_Y(y)~{=~\begin{vmatrix}\dfrac{\mathrm d~F_Y(y)}{\mathrm d~y\qquad~}\end{vmatrix} \\[1ex]=~\begin{vmatrix}\dfrac{\mathrm d~F_X(y^{1/3})}{\mathrm d~y\qquad\quad}\end{vmatrix} \\[1ex] =~\begin{vmatrix}\dfrac{\mathrm d~~}{\mathrm d~y}\int_2^{y^{1/3}} f_X(x)\operatorname d x\end{vmatrix} \\[1ex] =~ \begin{vmatrix}\dfrac{\mathrm d~y^{1/3}}{\mathrm d~y~\quad}\end{vmatrix} f_X(y^{1/3})\\[1ex] =~\dfrac{f_X(y^{1/3})}{3y^{2/3}}}$