Demostrar que la intersección de σσ\sigma-algebras es σσ\sigma-algebra y el conjunto potencia es σσ\sigma-algebra

arreglar un conjunto$\Omega$. A$\sigma$-álgebra en$\Omega$es una colección no vacía de subconjuntos de$\Omega$cerrados bajo toma de complementos y uniones contables.

Me gustaría probar que (1) para finito$\Omega$,$2^\Omega$es un$\sigma$-álgebra y que (2) la intersección de una familia de$\sigma$-álgebras es un$\sigma$-álgebra. ¿Son correctas estas pruebas?

La definición dice "colección no vacía", por lo que la colección contiene algo y el complemento de ese algo, por lo tanto, las cosas completas$\Omega$. Dado que contiene todas las cosas, contiene su complemento, por lo tanto, el conjunto vacío$\emptyset$. Esto garantiza que$2^\Omega$y$\bigcap \mathcal{A_i}$de$\sigma$-álgebras$\mathcal{A_i}$no están vacíos.

(Stmt 1) Pf .$2^\Omega$contiene todos los subconjuntos de$\Omega$. Entonces se cierra tomando complementos y uniones contables.

(Stmt 2) Pf . Dejar$\{\mathcal{A_i}\}$ser una familia de$\sigma$-álgebras.

1. $A\in \bigcap \mathcal{A_i}\implies A\in \mathcal{A_i} \forall i\implies A^c \in\mathcal{A_i}\forall i\implies A^c\in \bigcap \mathcal{A_i}$
2. Dejar$A_j\in \bigcap \mathcal{A_i}$para$j\in J$. Entonces$A_j\in \mathcal{A_i} \forall i \forall j$. Por lo tanto$\bigcup A_j\in \mathcal{A_i} \forall i$. Por eso$\bigcup A_j\in\bigcap\mathcal{A_i}$