¿Los conjuntos no medibles cuyas secciones son nulas están siempre contenidos en un conjunto medible nulo?

No. Por ejemplo, consideremos la medida de Lebesgue sobre$\mathbb{R}^2$. Se puede demostrar que si$A\subseteq\mathbb{R}^2$es medible con medida positiva, entonces hay$2^{\aleph_0}$diferentes valores de$x$tal que$A$contiene un punto de la forma$(x,y)$. Además, solo hay$2^{\aleph_0}$diferentes subconjuntos de Borel de$\mathbb{R}^2$, y cualquier conjunto medible de medida positiva contiene un conjunto de Borel de medida positiva. Usando esto, por una recursión transfinita de longitud$2^{\aleph_0}$, puedes construir un conjunto$S\subseteq\mathbb{R}^2$tal que$S$corta cada conjunto de Borel de medida positiva (y por lo tanto cada conjunto medible de medida positiva), pero para cada$x\in\mathbb{R}$,$S$contiene como máximo un punto de la forma$(x,y)$(sólo uno por uno elige puntos para poner en$S$para hacerlo intersectar cada conjunto Borel de medida positiva, evitando cualquier$x$-valores que ya ha elegido). Entonces cada sección de$S$es medible con medida$0$. Sin embargo,$S$no está contenido en ningún conjunto medible de medida$0$, o de hecho en cualquier conjunto medible que no tiene medida completa, ya que$S$corta todo conjunto medible de medida positiva.