Integral de contorno del propagador de Klein Gordon retardado

He estado tratando de probar a mano la fórmula de Peskin para el propagador retardado de la ecuación de Klein Gordon, es decir,

$$\int_{x^0 > y^0} \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{-e^{-ip(x-y)}}{i(p^2 - m^2)} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e^{-ip(x-y)} - e^{ip(x-y)}}{2E_p}$$

Con la condición de que en la segunda integral,$p^0 = E_p$.

Así que realicé la integral de contorno estándar de$\int \frac{dp^0}{2\pi} \frac{-e^{-ip(x-y)}}{i(p^2 - m^2)}$, contorno que corre a lo largo del eje real excepto por el polo (donde el contorno es un semicírculo pequeño alrededor del polo), y luego un semicírculo de regreso a la posición original.

De hecho, la integral para el semicírculo hacia atrás parece ir a$0$en el límite infinito:

$$\int_0^\pi \frac{d\theta}{2\pi} (ire^{i\theta}) \frac{-e^{-i[re^{i\theta}(x^0-y^0) - \vec p(\vec x-\vec y)]}}{i((r e^{i\theta})^2 - \vec p^2 - m^2)} = \int_0^\pi \frac{d\theta}{2\pi} \frac{-e^{-i[re^{i\theta}(x^0-y^0) - \vec p(\vec x-\vec y)]}}{r e^{i\theta} - \frac{\vec p^2 + m^2}{r e^{i\theta}}}$$

que en el límite de$r \rightarrow \infty$dará algo como

$$\frac{-e^{-i[re^{i\theta}(x^0-y^0) - \vec p(\vec x-\vec y)]}}{r e^{i\theta} - 0}$$

Y como la exponencial está acotada, debería ir a 0.

Cuando calculé alrededor de los polos, usé el siguiente lema :

$$\lim_{\epsilon\to0} \int_{\gamma_{\epsilon}} f(\zeta) \;d\zeta=i\theta_0 \mathrm{Res} \{ f(z), z_0 \}$$

Los dos polos son$p^0 = \pm E_p$, con residuos

$$\frac{-1}{2\pi i}\frac{e^{-i[(\pm E_p)(x^0-y^0) - \vec p(\vec x-\vec y)]}}{\pm 2E_p}$$

Entonces esas dos integrales son

$$I_\pm = \mp \frac{1}{4E_p}e^{-i[(\pm E_p)(x^0-y^0) - \vec p(\vec x-\vec y)]}$$

Lo que significa que los valores principales de la integral sobre la línea real deben ser

$$\text{P.V.}\int \frac{dp^0}{2\pi} \frac{-e^{-ip(x-y)}}{i(p^2 - m^2)} + I_+ + I_- + 0 = 0$$

$$\text{P.V.}\int \frac{dp^0}{2\pi} \frac{-e^{-ip(x-y)}}{i(p^2 - m^2)} = \frac{1}{4E_p}(e^{-i[E_p(x^0-y^0) - \vec p(\vec x-\vec y)]} - e^{i[ E_p(x^0-y^0)+ \vec p(\vec x-\vec y)]})$$

Que tiene un factor de la mitad en exceso en comparación con el original (aunque esas cosas suceden), pero lo que es más importante, contiene$E_p(x^0-y^0)+ \vec p(\vec x-\vec y)$en su segunda exponencial en lugar de$E_p(x^0-y^0)- \vec p(\vec x-\vec y)$. No estoy muy seguro de dónde debería provenir ese cambio, ya que en ninguna parte toqué la parte espacial del impulso en los cálculos.