Multiplicación de distribuciones en la teoría de campo Keldysh/termocampo de temperatura finita

Question

Multiplicación de distribuciones en la teoría de campo Keldysh/termocampo de temperatura finita

Física
propagador
física-matemática
teoría cuántica de campos
teoría del campo térmico
distribuciones-dirac-delta

QuantumEyedea

En los formalismos de temperatura finita en tiempo real (Schwinger-Keldysh o Thermo-field), los propagadores libres a menudo se definen con términos como:

D i r a C D mi yo t a \times T h mi r metro a yo D i s t r i b tu t i o norte (| F r mi q tu mi norte C y |)

$\mathrm{Dirac\ Delta}\ \times \ \mathrm{Thermal\ Distribution}(|\mathrm{frequency}|)$

Por ejemplo, en la teoría del termocampo, los propagadores libres para un campo escalar real son:

- i Δ_{11} (pag; metro) = \frac{- i}{- {pag}_{0}^{2} + | pag |^{2} + {metro}^{2} - i ϵ} + \frac{2 π d (- {pag}_{0}^{2} + | pag |^{2} + {metro}^{2})}{{mi}^{β | {pag}_{0} |} - 1} - i Δ_{12} (pag; metro) = - i Δ_{21} (pag; metro) = π C s C h (\frac{β | {pag}_{0} |}{2}) d (- {pag}_{0}^{2} + | pag |^{2} + {metro}^{2}) - i Δ_{22} (pag; metro) = \frac{i}{- {pag}_{0}^{2} + | pag |^{2} + {metro}^{2} + i ϵ} + \frac{2 π d (- {pag}_{0}^{2} + | pag |^{2} + {metro}^{2})}{{mi}^{β | {pag}_{0} |} - 1}

$- i \Delta_{11}(p;m) = \frac{-i}{-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 - i \epsilon} + \frac{2 \pi \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1} \\ - i \Delta_{12}(p;m) \ = \ - i \Delta_{21}(p;m) = \pi \mathrm{csch}\left( \tfrac{\beta|p_0|}{2} \right) \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2+m^2) \\ - i \Delta_{22}(p;m) = \frac{i}{-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 + i \epsilon} + \frac{2 \pi \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2)}{e^{\beta |p_0|} - 1}$

Entonces, por ejemplo, el término con el $\frac{\delta(p^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ me preocupa.

La razón por la que estoy confundido es porque he estado leyendo sobre funciones/distribuciones generalizadas y un hecho básico sobre estos objetos es que no puedes multiplicar dos distribuciones entre sí (es decir, multiplicar dos distribuciones no produce una distribución bien definida).

El $\delta$ es obviamente una distribución y dado que tenemos una barra absoluta en $|p_0|$ en el $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ ¿Supongo que esto es una distribución también?.

¿Estoy malinterpretando el significado de $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ ? ¿Cómo son significativos los propagadores anteriores en el sentido de las distribuciones?

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AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Dos comentarios:

Esencialmente, cada función puede considerarse como una distribución, aunque lo contrario no es cierto. En este sentido, ciertamente se puede considerar $(e^{\beta |p_0|} - 1)^{-1}$ como distribuciones. Las distribuciones de este tipo se conocen como distribuciones regulares . Las distribuciones no regulares se conocen como distribuciones singulares .
No es cierto que no puedas multiplicar distribuciones. Por ejemplo, la multiplicación de distribuciones regulares es trivial: simplemente multiplica sus funciones asociadas, lo cual es una operación perfectamente definida.

Una declaración algo menos trivial se refiere a las distribuciones singulares. Puede multiplicar aquellos con distribuciones regulares muy bien (a menos que la distribución regular sea demasiado salvaje, en cuyo caso debe insistir en que las singularidades de la primera no coincidan con las singularidades de la segunda). Este es precisamente el caso de tus propagadores, e invito a pensar si las singularidades de los objetos con los que estás trabajando coinciden o no. Debería poder convencerse a sí mismo de que este no es el caso, por lo que las multiplicaciones están bien definidas.

Finalmente, una afirmación mucho menos trivial se refiere al producto de dos distribuciones singulares. Si sus soportes singulares son disjuntos, su multiplicación está perfectamente bien definida y es trivial de implementar. Si sus soportes singulares se superponen, entonces las cosas se vuelven más interesantes. En algunos casos, puede multiplicar distribuciones singulares con soportes singulares no disjuntos y, a veces, no puede. Los detalles dependen de qué tan rápido decaen las distribuciones en el espacio de Fourier; para formalizar estos hechos Hörmander introdujo el llamado conjunto de frente de onda . No discutiremos esto aquí.

qmecanico · Answer 2

Con respecto al ejemplo explícito de OP

\begin{matrix} (D) & \frac{d ({pag}^{2} + {metro}^{2})}{{mi}^{β | {pag}_{0} |} - 1}, β \neq 0. \end{matrix}

$\frac{\delta(p^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1} , \qquad\beta\neq 0. \tag{D}$

El caso masivo $m\neq 0$ . Entonces la singularidad de $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ no se superpone con el apoyo de $\delta(p^2 + m^2 )$ , por lo que la distribución del producto está matemáticamente bien definida.
El caso sin masa $m=0$ . Entonces la distribución (D) [y ya $\delta(p^2)$ ¡en sí mismo!] están matemáticamente mal definidos per se. Heurísticamente (D) se puede reescribir como
$\begin{matrix} (D') & \frac{1}{{mi}^{β | {pag}_{0} |} - 1} \frac{1}{2 | {pag}_{0} |} \sum_{\pm} d ({pag}_{0} \pm | pag |), \end{matrix}$ $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}\frac{1}{2|p_0|} \sum_{\pm}\delta(p_0 \pm |{\bf p}| ),\tag{D'}$ que tiene un polo doble en $p_0=0$ . Por lo tanto (D) solo tiene sentido para funciones de prueba que tienen un doble cero correspondiente en $p_0=0$ .

Gracias por tu respuesta. En el caso $\beta \neq 0$ y $m=0$ parecería que $\delta(p^2)$ tiene una singularidad en $p_0 = \mathbf{p}$ y $\frac{1}{e^{\beta|p_0|} - 1}$ tiene una singularidad en $p_0 = 0$ . Estas coincidentes cuando envías $\mathbf{p} \to \mathbf{0}$ . ¿Significa esto que las teorías sin masa están mal definidas?
Podrías ampliar tu comentario $\delta(p^2)$ estar mal definido? ¿Significa esto que siempre debe entenderse como $\frac{\delta(p_0-|\mathbf{p}|)+\delta(p_0+|\mathbf{p}|)}{2|p_0|}$ y así debe venir junto con las funciones de prueba que tienen un solo cero en $p_0 =0$ (Supongo que esto significa que la función de prueba $\phi$ debe parecerse $\sim p_0 + \mathscr{O}(p_0^2)$ cerca $p_0 =0$ )?

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