Pregunta sobre la suma infinita en el campo cuántico.

El hecho real es el siguiente. Considerar

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} \quad \mbox{with $s\in \mathbb C$ and } Re \:s >1\:. \tag{1}$$ Esa función, con dicho dominio complejo , está bien definida (la serie converge absoluta y uniformemente) y es una función analítica compleja . Como consecuencia de un conocido teorema sobre funciones analíticas, es posible extender $\zeta$fuera de su dominio original en otra función analítica compleja con un dominio mayor. En términos generales, esta extensión es localmente única. Con esta definición y dominio ampliados, (1) no se cumple necesariamente.

De hecho, es posible probar que$\zeta$admite una extensión analítica compleja única en todo el plano complejo$\mathbb C$excepto el punto$s=1$, donde hay una singularidad (un polo simple ) que no se puede eliminar ni siquiera suponiendo únicamente continuidad (que es una condición mucho más débil que la analiticidad).

Resumiendo, existe una única función analítica compleja$\zeta : \mathbb C \setminus \{1\} \to \mathbb C$satisfaciendo (1) en el conjunto abierto$Re\:s >1$, no satisface (1) en el resto de su dominio, en particular$\zeta(1)$no se puede definir

identidades como

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} = -\frac{1}{12}\quad \mbox{if $s=-1$}.$$ no tienen sentido en ningún caso, porque la serie en la LHS no converge para $s=-1$(¡evidentemente!). Tienen sentido al referirse a la continuación analítica de la función originalmente definida. $\zeta$. En este sentido preciso, por ejemplo, al calcular el determinante de operadores ilimitados con espectro discreto, son útiles en la teoría cuántica (de campos).

ANEXO . Estas propiedades de$\zeta$son compartidas por otras funciones similares construidas a partir del espectro de algún operador autoadjunto elíptico como$A:= -\Delta$, definida en una variedad de Riemann compacta:

$$\zeta_A(s) := \sum_{\lambda \in \sigma(A)} (m_\lambda \lambda)^{-s}\:.\tag{2}$$ Arriba $m_\lambda$es la multiplicidad geométrica de $\lambda$que siempre es finito si $A= -\Delta$incluyendo también perturbaciones, en variedades riemannianas compactas. Formalmente hablando, $\det A$es proporcional a la función de partición de una QFT que admite la versión lorentziana de $A$como operador de ecuaciones de campo, y cuando la continuación euclidiana del tiempo de Killing lorentziano da lugar a órbitas compactas con período $\beta$(la temperatura inversa). El Killing time es el que se utiliza para definir el vacío estático y los estados térmicos (KMS) asociados. Formalmente $$\det A = \prod_{\lambda\in \sigma (A)} m_\lambda \lambda\:.$$ Sin embargo, esa producción generalmente diverge. No obstante, el procedimiento de continuación analítica funciona. Formalmente (omito $m_\lambda$por el batido de la sencillez) $$\zeta_A'(0) = \frac{d}{ds}|_{s=0}\left(\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \lambda^{-s}\right) = -\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \ln \lambda = -\ln \prod_{\lambda\in \sigma (A)} \lambda\:.$$ Así se puede definir $$\det A := e^{-\zeta_A'(0)}\tag{3}\:,$$ proporcionó $\zeta_A'(0)$existir. En general existe sólo en el sentido de continuación analítica. Quiero decir que la función en (2) resulta ser bien definida y analítica para $Re \:s > c_A$por algo de verdad $c_A$Dependiendo de $A$. Además, esa función analítica sólo puede extenderse analíticamente a la totalidad $\mathbb C$excepto por un conjunto discreto de puntos que definen una función analítica compleja extendida (en realidad meromórfica). Ese set no incluye $s=0$. Por lo tanto, definiciones como (3) son seguras, al menos en principio.

Este método se puede generalizar para calcular objetos más complicados como el tensor de energía de tensión renormalizado (térmico) de un bucle en el espacio-tiempo curvo y es posible demostrar que el procedimiento es equivalente a otros más populares como el llamado método de división de puntos. . (Pasé parte de mi carrera inicial lidiando con estos temas interesantes).

La respuesta de Valter es completamente correcta, pero la ampliaré brevemente para abordar los valores específicos sobre los que pregunta. El lugar para ir, realmente, es la página de Wikipedia Valores particulares de la función zeta de Riemann , que enumera la mayoría de los valores de$\zeta(s)$(que, como explicó Valter, equivale a

$$\zeta(s) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}$$ cuando $\operatorname{Re}(s)>1$) que se pueden expresar sin el uso de series, o utilizando otras más simples.

Por ejemplo, el valor$\zeta(2)$es bien conocido por ser$\pi^2/6$, y los otros enteros pares positivos tienen valores zeta que son múltiplos racionales de una potencia de$\pi$.

Por otro lado, el valor$s=1$es bastante diferente, porque la función zeta tiene un polo allí. Esto quiere decir que no hay manera de hacer la serie.

$$\zeta(1) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$$ significar otra cosa que no sea $\infty$. Esta serie es, por supuesto, la serie armónica , que es probablemente el ejemplo más famoso de una serie divergente, y existen múltiples pruebas simples de por qué su valor debe ser infinito.

Sin embargo, si pregunta por qué insistimos en que

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$$ es infinito, pero estamos de acuerdo con asignar un valor finito (y negativo) a $$1+2+3+4+\cdots,$$ entonces diría que la segunda serie es solo una forma práctica de expresar algo más, y en realidad no debería haberse usado en primer lugar.